三角比(sinθ、cosθ、tanθ)の相互関係4式の証明と利用

sinθ,\ cosθ,\ tanθ}$の間に常に成り立つのが三角比の相互関係である. 次のようにして本質的な2つの関係,\ とおまけの2つの関係,\ が導かれる. まず,\ 直角三角形を用いた三角比の定義を示す. 正弦対辺{斜辺余弦}{底辺{斜辺正接対辺{底辺} また,\ 三平方の定理より $ 両辺をr²で割ると cos²θ+sin²θ=1}  $} ここで,\ 斜辺が1の直角三角形では$x=cosθ,y=sinθ$が成立する. よって,\ は右図の直角三角形における三平方の定理に他ならない. は${sinθ}$と${cosθ}$の関係である. 他の2つの三角比の関係はの両辺を${cos²θ,\ sin²θ}$で割ることで導かれる. この三角比の相互関係で最も重要なポイントが次である. さて,\ 三角比の4つの相互関係のポイントを補足する. 本質的なのはとである.\ とは,\ いざとなればとから導くことができる. ただし,\ 時間の無駄なので少なくとも{,\ ,\ は丸暗記}しておきたい. を使う機会は少なく,\ 教科書では公式として扱われていない. しかし,\ 理系は特に数III}でよく使うので覚えておくに越したことはない. {三角比の相互関係はθが何であれ常に成立する.} (複号同順)}$} 図形的には,\ sinθは単位円上の点のy座標,\ cosθはx座標である. また,\ tanθは直線x=1上の点のy座標である. よって,\ {sinθ,\ cosθ,\ tanθは象限ごとに正負が決まっている.} 三角比を求めるときは,\ 常にこの正負に最大限の注意を払わなければならない. sinθが与えられているから,\ まずsin²θ+cos²θ=1を用いてcosθを求める. このとき,\ cos²θ=1-sin²θとなり,\ 2乗をはずす必要が生じる. ここで,\ 普通は2乗をはずすときがつく. しかし,\ {角度で正か負かが決まる三角比では問題の条件を満たすもののみを答える.} 0°<θ<90°のとき\ {cosθは常に正}であるから,\ cosθは正の値のほうを答える {単純に代入すると自動的に正負が決まる}から,\ 正負を考慮する必要はない. 流れはと同様だが,\ 0°θ180°のとき{cosθは正にも負にもなりうる.} よって,\ {両方を答える}ことになる.\ {cosθの正負に応じてtanθも正負が生じる.} なお,\ {複号同順}は複号(,\ ±)の常に上だけまたは下だけを選択することを意味する. つまり,\ 示した解は\ (cosθ,\ tanθ)=({8}{17},\ {15}{8}),\ (-{8}{17},\ -{15}{8})\ を意味している. ({8}{17},\ -{15}{8}),\ (-{8}{17},\ {15}{8})\ は含まれない.\ これも含めたい場合は{複号任意}とする. ちなみに,\ 次のようにa²-b²=(a+b)(a-b)を利用して2乗せずに済む小技がある. tanθが与えられた場合,\ まず1+tan²θ={1}{cos²θ}\ でcosθを求める. 本問で最も注意すべきは{cosθの符号}である. 0°θ180°であるから,\ 単純にはと同様に正負の両方がありえそうである. しかし,\ {tanθ=-2<0を考慮するとθは第2象限に限定されるから,\ cosθ<0となる.} このように,\ {θの範囲だけでなく三角比の値にも注意して正負を考えなければならない.} なお,\ 5={1}{cos²θ}\ のように求める変数が分母にきたときは{両辺の分母分子を逆にする}とよ sin²θ+cos²θ=1でも求まるが2乗の処理が面倒である. {すでに2つの三角比がわかっている場合は残りの1つは\ tanθ={sinθ}{cosθ}\ で楽に求められる.}
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