基本的な三角方程式(sinθ=k、cosθ=k、tanθ=k)

スポンサーリンク
単位円を用いて角度を元に三角比が定義された. 逆に,\ 三角比の値から角度を求めるのが三角方程式である. 角度と三角比は常に単位円によって結びつく. よって,\ 角度から三角比を求めるときも三角比から角度を求めるときも単位円を利用できる. 念のため,\ 単位円を用いた三角比の定義をおさらいしておく. dy}{回転角$θ$の半直線と$ {単位円との交点のy座標が & {sinθ {単位円との交点のx座標が & {cosθ {直線x=1との交点のy座標が & {tanθ $} 定義に基づくと,\ $sinθ=12$となる$θ$は${y}$座標が${12}$となるときの${θ}$である. 実際には,\ まず単位円を図示した後,\ ${直線y=12=0.5$を引く. さらに,\ 原点から単位円と直線$y=12$の交点まで線を引き,\ 回転角$θ$を考える. 交点から$x$軸に垂線を下ろすと,\ 斜辺1,\ 高さ${12}$の直角三角形ができる. この直角三角形の辺の比を考慮すると,\ 回転角は$30°$であるとわかる. 単位円$(0°θ180°)$と直線$y=12$の交点は2個ある. 対称性より,\ 丁寧に思考してみたが,\ 実際の試験では毎回直角三角形を元に考えるほど時間的余裕はない. この程度の問題は頭の中だけで図をイメージして瞬殺する必要がある. 下ではそのためのより実戦的な方法を示す.\ 三角比の値を素早く判断する方法と同様である. まず,\ 三角比の表における重要ポイントを復習する. ${90°}$関連の角度${(0°,\ 90°,\ 180°)}$の三角比は暗記せずともその都度考えればよい. ${45°}$関連の角度${(45°,\ 135°)}$の${sin}$と${cos}$の絶対値は,\ $1}{2$である. ${30°}$関連の角度${(30°,\ 60°,\ 120°,\ 150°)}$の${sin}$と${cos}$の絶対値は, 以上から,\ ${sinθ=12}$である時点で${30°}$関連の角度であることが確定する. 後は単位円の図をイメージして${30°}$と${60°}$の二者択一をするとよい. 0θ180°の単位円と直線y=0の交点は2個あるから,\ 解も2個存在する. 単位円と直線y=1の交点は1個だけなので解も1個だけである. まず,\ {2}{2}={1}{2}\ は思いの外盲点になりやすいので注意. {1}{2}={2}{2}0.7\ より,\ 直線y=0.7と単位円の交点までの回転角を考えるのが本来である. しかし,\ sinθ={1}{2}\ である時点で45°関連の角度であることが確定している. よって,\ θ=45°,\ 135°であると瞬時に判断できる. {3}{2}0.87\ より,\ 直線y=0.87と単位円の交点までの回転角を考える. sinθ={3}{2}\ の時点で30°関連の角度であるから,\ 後は30°と60°の二者択一である. {単位円との交点のx座標がcosθ}という定義に基づくと,\ x座標が0となるθを考えればよい. つまり,\ 直線x=0と単位円との交点までの回転角を考える. 0°θ180°\ の範囲では,\ 解は90°の1個だけである. 直線x=-1と単位円の交点は1個だけである. cosθ={1}{2}\ である時点で45°関連の角度であることが確定済みなので考える余地はない. cosθの絶対値が12\ である時点で30°関連の角度であることが確定している. 第2象限であるから,\ 後は120°と150°の二者択一である. {定義:直線x=1との交点のy座標がtanθ}に基づき,\ x=1上でy=0となるθを考える. 0°θ180°\ の範囲では,\ 解は2個存在する. 三角比の表において,\ {45°関連の角度(45°,\ 135°)のtanの絶対値は常に1}である. また,\ {30°関連の角度(30°,\ 60°,\ 120°,\ 150°)のtanの絶対値は常に{1}{3}\ か3}である. まず,\ 31.73より,\ (1,\ 3)から原点に向かう線を引く. 後は,\ tanθ=3の時点で30°関連が確定済みなので30°と60°の二者択一である. tanθの絶対値が1である時点で45°関連が確定済みなので,\ 第2象限では135°の1択である. {3}{3}={1}{3}\ であることに注意.\ {3}{3}=0.58\ である.\ (1,\ -0.58)から原点に向かう線を引く. tanθの絶対値が{1}{3}\ の時点で30°関連が確定済みである. 第2象限であるから,\ 後は120°と150°の二者択一である.
タイトルとURLをコピーしました