正四面体の計量:表面積・2面のなす角・高さ・体積・内接球の半径・外接球の半径と立方体への埋め込み

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}1辺の長さが$a$の正四面体{ABCD}について,\ 次の値を求めよ. \ lll} 表面積$S$    & 2面のなす角の余弦    & 高さ$h$ 体積$V$ & 内接球の半径$r$ & 外接球の半径$R$ 正四面体の計量 正三角形の面積は,\ 公式\ S=12bcsin A\ を利用して求める. 正四面体の表面積なので4倍する. 対称性より,\ 頂点Aから下ろした垂線の足は底面{BCD}の重心}である. { }この点をGとすると ${DG:GM=2:1$ { }よって,\ 辺BCの中点をMとすると,\ 直角三角形AMGにおいて {2面のなす角の定義}は,\ {2つの平面の交線に垂直な2直線(法線)のなす角}である. 対称性よりどの面のなす角も等しいので,\ {ABC}と{BCD}のなす角を求めることにする. いずれも正三角形なので,\ {中線(頂点と中点を結ぶ線分)を引けば,\ {BC}と垂直に交わる.} {辺{BC}は,\ 2平面{ ABCと BCD}の交線}である. さらに,\ AM⊥ BC,\ DM⊥ BC}であるから,\ ∠{AMD}が2面のなす角}である. 正四面体の計量では,\ {対称性を最大限利用}する. {重心の性質「中線を2:1に分割」}を考慮すると,\ 長さを求めずとも2面のなす角のcosがわかる. 実際に長さを求め,\ 余弦定理を用いてcosを求める別解も一応示した. 中線の長さは30°,\ 60°,\ 90°の直角三角形の比1:3:2で求まる.\ 三平方の定理でもよい. 立体図形の問題では,\ {求めたい図形量を含む平面を取り出して図示する}ことが重要である. 右上図は,\ {正四面体を真上から見た図}であり,\ {AとG}が一致している. 右下図は,\ {正四面体を3点{A,\ M,\ D}で通る平面で切断したときの断面図}である. これらの図を適当に図示してはならず,\ 長さや角度を考慮する必要がある. 例えば,\ { BCDは正三角形,\ AMDは二等辺三角形}となるように図示しなければならない. 本解は,\ で求めた2面のなす角のcosを利用する方法である. 別解は,\ 重心の性質を利用する方法であり,\ なす角を経由せずに求められる. { AMG}で考えてもよいが,\ {AD}=aを利用する方がわずかに計算が楽である. 内接球の中心をIとすると 三角形の内接円の半径を求めるとき,\ S=12r(a+b+c)\ を用いて面積から逆算した. この公式は,\ { ABC= IAB+ IBC+ ICA}\ から導かれたものであった(左下図). この発想を空間に応用し,\ {四面体の内接球の半径を体積から逆算して求める.} {四面体の体積は,\ 頂点が{I}で四面体の各面を底面とする4つの三角錐の体積の和に等しい.} 特に正四面体ならば,\ その体積は右下図の三角錐{I-BCD}の体積4個分に等しい. ${ ODG}$に三平方の定理を適用すると ${OD²=OG²+GD²}$ [ %対称性より,\ 内接球の中心と外接球の中心は一致する.} %{ }また,\ 内接球の中心Oは,\ 垂線AG上に存在するから,\ ${r=OG}$である. %{ }外接球の半径は,\ 中心Oから頂点までの距離に等しく},\ $R={OA}$である. 4頂点{A,\ B,\ C,\ D}からの距離が等しい点が外接球の中心{O}である. 直線{AG}上の点は3頂点{B,\ C,\ D}までの距離が等しいから,\ 外接球の中心{O}は直線{AG}上にある. なお,\ 外接球の中心と内接球の中心は一致する. 外接球の半径Rは三平方の定理によって求められる. {外接球の中心{O}は垂線{AG}を3:1に内分する点}であるとわかる. %本解は,\ 中心{O}の位置が求まっていない場合の解法である. %{(外接球の半径R)=(垂線の長さh)-(内接球の半径r)}\ で求められる. %別解は,\ 中心の位置(垂線を3:1に内分)が既に求まっている場合の解法である. %答えだけでよい場合,\ 中心の位置を覚えていれば,\ 瞬殺が可能である. { 正四面体の立方体への埋め込み 正四面体の一部の図形量は,\ 立方体に埋め込んで考えると中学レベルの問題となる. ${1辺の長さがaの四面体}は,\ 1辺の長さが{a}{2}の立方体に埋め込まれる.$ 立方体の対角線の長さはすべて等しいから,\ 下図の四面体ABCDは正四面体である 正四面体ABCDは,\ 立方体から4つの直角三角錐を取り除いた図形}である. {A,\ B,\ C,\ D}以外の立方体の頂点を{P,\ Q,\ R,\ S}とする. 立方体から4つの直角三角錐{CABP,\ DABQ,\ BCDS,\ ACDR}を取り除けばよい. }]$ 体積が求まれば,\ 体積を2通りに表すことで正四面体の高さを逆算}できる. 頂点Aから底面BCDにおろした垂線の長さを${h}$とすると \ 体積から高さを逆算という手法は,\ 中学生がよく使うものである. 正三角形の面積はsin公式を用いたが,\ 三平方の定理で中学生でも求められる. 外接球の半径${R}$は,\ 立方体の中心Oから頂点までの距離に等しい.} 対称性より,\ {O}から頂点までの長さは立方体の対角線の長さの半分である. 立方体の対角線の長さは,\ 三平方の定理を用いれば,\ 1辺の長さの3倍である. 最後に,\ 内接球の半径${r}$を求める. 内接球の中心もOであり,\ 半径はOから$$BCDまでの距離に等しい.}
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