正四面体の計量:表面積・2面のなす角・高さ・体積・内接球の半径・外接球の半径と立方体への埋め込み

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1辺の長さが$a$の正四面体\mathRM{ABCD}について,\ 次の値を求めよ. (1)\ \ 表面積$S$    & (2)\ \ 2面のなす角の余弦    & (3)\ \ 高さ$h$ \\[.8zh] (4)\ \ 体積$V$ & (5)\ \ 内接球の半径$r$ & (6)\ \ 外接球の半径$R$ {正四面体の計量} 正三角形の面積は,\ 公式\ S=\bunsuu12bc\sin A\ を利用して求める. \\[.6zh] 正四面体の表面積はこれの4倍である.  (2)\ \ 頂点Aから底面BCDに下ろした垂線の足をHとする. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\mathRM{AB=AC=AD}$であり,\ かつAHが共通している. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ よって,\ $\mathRM{\triangle ABH\equiv\triangle ACH\equiv\triangle ADH}$である. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ ゆえに,\ $\mathRM{\textcolor{red}{BH=CH=DH}}$より,\ \textcolor{red}{点Hは$\triangle$BCDの外心}である. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ 正三角形では,\ 3本の中線と3本の辺の垂直二等分線はすべて一致する. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ 結局,\ \textcolor{forestgreen}{正三角形の外心と重心は一致する}から,\ \textcolor{red}{垂線の足Hは底面\mathRM{BCD}の重心}である. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ 辺BCの中点をMとし,\ Hを改めてGとすると $\mathRM{\textcolor{red}{DG:GM=2:1}}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ 直角三角形AMGにおいて まず,\ \bm{2面のなす角の定義}は,\ \bm{2つの平面の交線に垂直な2直線(法線)のなす角}である. \\[.2zh] 対称性よりどの面のなす角も等しいので,\ \triangle \mathRM{ABC}と\triangle\mathRM{BCD}のなす角を求めることにする. \\[.2zh] 正三角形なので,\ \bm{頂点\mathRM{A,\ D}から中線(頂点と中点\mathRM{M}を結ぶ線分)を引くと,\ \mathRM{BC}と垂直に交わる.} \\[.2zh] \bm{辺\mathRM{BC}は,\ 2つの平面\mathRM{\triangle ABCと\triangle BCD}の交線}である. \\[.2zh] \mathRM{AM\perp BC,\ DM\perp BC}となるから,\ \bm{\angle\mathRM{AMD}が2面のなす角}である. \\[1zh] 単純に考えると別解になる.\ \ \triangle\mathRM{AMD}の3辺の長さを求め,\ 余弦定理を適用すればよい. \\[.2zh] \triangle\mathRM{ABM}は30\Deg,\ 60\Deg,\ 90\Deg\,の直角三角形であるから,\ 中線\mathRM{AM}の長さは比で容易に求まる. \\[1zh] \bm{正四面体の対称性を利用}する本解の考え方が本質的であり,\ 汎用性も高い. \\[.2zh] \bm{頂点\mathRM{A}から下ろした垂線の足\mathRM{H}が底面\triangle\mathRM{BCD}の重心となる}ことを利用する. \\[.2zh] これを「対称性より明らか」とするのは論理的に危ないので,\ 証明も示しておいた. \\[.2zh] 少し長いが,\ 難しくはないのできちんと確認しておいてほしい. \\[1zh] 垂線を下ろすと,\ 直角三角形の合同条件\bm{「斜辺と他の1辺が等しい」}より,\ \text Hが外心であるとわかる. \\[.2zh] ここで,\ \bm{重心は3本の中線の交点,\ 外心は3本の垂直二等分線の交点}であった(数\text A:平面図形). \\[.2zh] \text Hが\triangle\mathRM{BCD}の重心とわかるので,\ さらに\bm{重心の性質「中線を2:1に分割」}を考慮する. \\[.2zh] こうして,\ 長さを求めずとも2面のなす角の\,\cos\,を求めることができる. \\[1zh] 空間図形の問題では,\ \bm{求めたい図形量を含む平面を取り出して「正確に」図示できるか}が問われる. \\[.2zh] 通常,\ 空間図形を図示するとき,\ 左図のような俯瞰(ふかん)図を図示する. \\[.2zh] 空間図形を平面に正確に図示することは不可能なので,\ 早い話,\ 俯瞰図は歪んでいる. \\[.2zh] ここから平面を取りだして図示するとき,\ 俯瞰図の形をそのまま図示してしまう学生が少なくない. \\[.2zh] しかし,\ それではわざわざ平面を取り出して図示する意味がない. \\[.2zh] \bm{平面を取り出して図示するとき,\ 長さや角度を元に実際の形を考慮して正確に図示すべき}である. \\[.2zh] 例えば,\ 底面の\triangle\mathRM{BCD}を図示するならば,\ 正三角形を図示しなければならない(右上図). \\[.2zh] この図は正四面体を真上から見たものともいえるので,\ \mathRM{AとG}が一致する. \\[.2zh] また,\ \bm{3点\mathRM{A,\ M,\ D}で通る平面で切断したときの断面図は二等辺三角形}を図示する(右下図). \\[.2zh] \mathRM{AM=DM
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