正弦定理(円周角の定理と三角比の融合)の証明と利用

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中学で円周角の定理を学習したが,\ 角度が等しいという以上の活用ができなかった. 円周角の定理に三角比を導入すると,\ 三角比・辺の長さ・外接円の半径が結びつく. $A<90°$}のとき,\ 鋭角三角形ABCが半径$R$の外接円に内接しているとする(左図).  辺BCを固定したまま,\ 辺ABが外接円の直径になるよう頂点Aを移動する.}  このとき,\ 直径に対する円周角であるから$∠{ACB}$は直角}となる.  直角三角形における三角比の定義}より とき,\ 辺ABを外接円の直径にすることはできない.  ただし,\ このとき辺BCが外接円の直径}となるから,\ $a=2R}$が成立する(中央図).  ここで,\ において$A=90°とすると,\ sin90°=1$より$a=2R$である.  つまり,\ は$A=90°$のときも成り立つ.  $A>90°}$のとき,\ 右図のように外接円の直径A$’$Cを引いて直角三角形A$’$BCを作成する.} ここで,\ 四角形ABA$’$Cは円に内接しているから,\ $A+A’=180°}$である. よって {$補角の公式\ 一般に,\ 分数が等しいことは分子と分母の比が等しいことである. 正弦定理は,\ 正弦と対辺の長さの比が同じ(${=外接円の直径}$)であることを意味する. よって,\ 正弦定理は連比でも表せる.\ {三角形の3辺の長さの比が正弦(${sin}$)の値の比に等しいことを意味している. \ 例えば,\ 角度が$30°,\ 60°,\ 90° の直角三角形の辺の比は1:2:3ではない.$ 中学で学習したように,\ この直角三角形の辺の比はにおいて外接円の半径を$R$とするとき,\ 次の値を求めよ. 2つの角が既知なので残りの1つの角はすぐに求まる. 正弦定理は,\ a}{sin A}={b}{sin B}={c}{sin C}=2R\ から必要な2つを取り出して適用する.} A,\ C,\ aが既知であるから,\ {a}{sin A}={c}{sin C}\ を取り出して代入するとcを求めることができる. さて,\ 正弦定理を用いた場合は{分数の分数(繁分数)}の処理を要することが多い. しかし,\ 多くの学生はこれを苦手とする.\ 繁分数の主な処理法が2つある. 重要なのは{分母分子に同じものを掛ける}方法である.\ 多くの場合この方法を用いると簡潔に済む. もう1つは,\ {(分子)(分母)}と見る方法である.\ 応用性に欠けるがわかりやすく確実である. \ 最後に裏技にもならない{小技}を示しておく. 有名角(30°,\ 45°,\ 60°など)をもつ三角形ではこの小技を使えることが結構ある. {三角定規の直角三角形ができるよう垂線を下ろす}と中学レベルの知識でcが求まる. 定期試験で使うと正弦定理を期待していた学校の先生が悲しむかも(笑). の直角三角形である. まず,\ 両辺で約分できる場合はさっさと約分する.  両辺を2で割ると  求めたいものが分母にある場合,\ {両辺の分母分子を逆にする}とよい. ab= cd\ という形の式は,\ 斜めに掛け合わせてad=bcとするのも便利である({たすき掛け}). これを用いると さて,\ 三角方程式\ sin B={1}{2}\ を普通に解くとB=45°,\ 135°\ が求まる. しかし,\ {方程式の解が2つ出てきたとしても,\ 常にその両方が最終的な答えになるとは限らない.} 三角形である以上,\ その前提条件{A+B+C=180°}\ に矛盾してはならない. 本問ではA=120°が確定しているので,\ B+C=60°である. a,\ Rが既知なので\ {a}{sin A}=2R\ に代入するとAを求めることができる. 両辺を4で割ると {3}{sin A}=2   両辺の分母分子を逆にして {sin A}{3}=12 本問の場合はB,\ Cが未定なのでAに範囲の制限はなく,\ 2つの解が両方とも答えになる. なお,\ 本問の条件だけではb,\ c,\ B,\ Cは定まらない. 図は一例であり,\ 頂点Aを移動させるとそれに応じてb,\ c,\ B,\ Cは変化する.
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