最後の解説でd/dx∫tf'(t)dt=f'(x)とありますが、d/dx∫tf'(t)dt=xf'(x)の誤りですm(_ _)m
2パターンの積分方程式のうち,\ 積分区間に変数$x}$が含まれている型である.
この型の扱いもパターンとして決まっており,\ 以下の2つを行うことになる.
$[1]$\ \ $d}{dx}∫{a}{x}f(t)\,dt=f(x)\ (a:定数)を利用するため,\ 両辺をxで微分する.$
$[2]$\ \ $定積分が0となるような値を両辺のxに代入する.$
d}{dx}∫{a}{x}f(t)\,dt=f(x)は,\ 単純には積分∫したものを微分\,d}{dx}\,すると元に戻る}ということである.
しかし,\ 丸暗記では応用が利かないので証明も重要である.
特に,\ 数III}の積分では丸暗記は一切通用しない.
f(x)の原始関数をF(x)とする.
d}{dx}∫{a}{x}f(t)\,dt=d}{dx}[F(t)}{a}{x}=d}{dx}\{F(x)-F(a)\}=F'(x)=f(x)}
aが定数のときF(a)も定数となることから,\ d}{dx}F(a)=0\ となるわけである.
d}{dx}∫{x}{a}f(t)\,dt=-\,f(x)\ となることもわかるはずである.
(1)\ \ $両辺をxで微分}すると f(x)=2x+4}$
(1)\ \ }$両辺にx=1を代入}すると 0}=1^2+4･1+a ∴ a=-\,5}$ \
両辺をxで微分するだけで容易にf(x)が求められる.
また,\ ∫{a}{a}のように積分区間の両端が等しい定積分の値は常に0}となる.
よって,\ 両辺にx=1を代入すると定数aの値を求められる.
{両辺をxで微分}すると }これが$x$についての恒等式であるから} (C:積分定数)
d}{dx}∫{1}{x}tf'(t)\,dt=f'(x)より両辺を微分するとf'(x)が求まる.
(1+x)f'(x)=2(x+1)は方程式ではなく,\ xの値によらず成り立つ式(恒等式)である.
両辺の係数比較によりf'(x)=2となる.\ 両辺をx+1で割ったわけではないことに注意する.
f'(x)が求まれば,\ 不定積分してf(x)が求められる.
さらに,\ 定積分が0となる値を両辺のxに代入すると,\ 積分定数Cを定められる.}
