1/6公式を利用して求める面積3パターンと最強の裏技a/6公式

2次関数と直線間の面積、2つの2次関数間の面積、3次の係数が等しい2つの3次関数間の面積を求めるときの定積分は、必ず1/6公式を適用できる形に変形できる。

1/6公式を使うことで、実質積分計算なしで面積を求めることができる(必要なのは2次の係数と交点のx座標のみ)。記述には多少の慣れが必要なので、理由を理解しつつ練習し、素早く記述できるようにしておこう。

1/6公式そのものは裏技ではないが、途中過程を完全に省いてa/6公式で一気に答えだけを求めるのが有名な面積の裏技であり、センター試験などの穴埋め式試験においては最強の裏技の1つである。

16area
交点のx座標を求めた}]$}   2次関数と直線の{交点から交点まで}を積分することになる. 交点の座標は,\ 当然2つの関数を連立して求める. つまり,\ (2x²-x-3)-(x+1)=0を計算し,\ x=-1,\ 2\ が求まる. また,\ 面積を求めるとき,\ 上の関数から下の関数を引いたものを積分する. 本問では,\ (x+1)-(2x²-x-3)\ を積分することになる. この被積分関数は,\ 正負を逆にすれば,\ の左辺と一致する. よって,\ (x+1)-(2x²-x-3)=0\ は,\ x=-1,\ 2を解にもつはずである. このことを用いると,\ 次のような{因数分解形に瞬時に変形}できる. {(x+1)-(2x²-x-3)=-2(x+1)(x-2)}  (係数の-2を忘れない) 次のような{途中計算は一切必要ない}ことに注目してほしい. 以上のことを一般化する. 2次関数\ y=ax²+bx+c\ (0)\ と\ 直線\ y=mx+n\ の間の面積を求める. ax²+bx+c=mx+nを解いて,\ 交点のx座標\ x=α,\ β\ を得る. 結局,\ {2次関数と直線の間の面積計算では,\ 必然的,\ 絶対的に}1/6公式が表れる.} よって,\ 1/6公式の利用を見越して,\ 問題を解いていくことになる. 普通に積分計算するのでは,\ 今後全く応用が利かなくなる. 早い内に,\ 1/6公式に慣れてしまおう.\ 一旦慣れれば使わずにはいられなくなる. 実際に,\ 本問でどのように1/6公式を用いて面積を求めるのかを確認する. まず,\ 2次関数と直線の交点を求め,\ 図示する.\ 頂点など余計な点は必要はない. 面積計算に必要なのは,\ {共有点と2曲線の上下関係}だけなのである. 本問程度であれば,\ 図示する必要性もあまりない. 1/6公式で面積を求めるわけだが,\ 上では{最低限必要な記述}で解答を示してある. 記述で使用可能なのは16公式\ {因数分解形の記述がないと,\ 突然1/6が登場し,\ 論理不足とみなされる}のである.  また,\ この解答を一般化・簡略化したものが,\ 有名な裏技である. ${2次関数\ y=a}x²+\ と直線の間の面積$} aが正の場合と負の場合をまとめるため,\ 絶対値をつけておく. α\ と\ β\ の大小の考慮も避けたいならば,\ a6(β-α)³}\ としてもよい. この裏技公式の重要性・利便性は凄まじい. {x²の係数と交点のx座標だけで,\ 面積を積分計算なしで瞬殺できる}のである. それゆえ,\ 穴埋め式試験における最強の裏技の1つとなっている. なお,\ 通常16公式と呼ばれるが,\ 係数を忘れやすいので,\ { a6公式}と覚えておこう. 2つの2次関数の間の面積 ゆえに,\ {2つの2次関数の間の面積計算では,\ 必然的,\ 絶対的に}1/6公式が表れる.}  これも,\ この解答を一般化・簡略化すると,\ 裏技となる. 3次の係数が等しい2つの3次関数の間の面積 x³-3x²+2x-(x³-x)=0\ は,\ x=0,\ 1\ を解にもつ. また,\ x³の係数が等しいので,\ {差は必ず2次以下の関数}になる. よって,\ (x³-3x²+2x)-(x³-x)=-3x(x-1)\ と変形できる. ゆえに,\ {x³の係数が等しい}\ 2つの3次関数の間の面積計算にも,\ 16公式が表れる.} この2つの3次関数は,\ 次を考慮すると素早く図示できる.\ 当然,\ 極値は必要ない.  これも,\ この解答を一般化・簡略化すると,\ 裏技となる.  ${3次の係数が等しい2つの3次関数$
タイトルとURLをコピーしました