点(1,\ 2)を通る直線と,\ 放物線\ y=12x^2\ で囲まれた部分の面積Sの最小値を求めよ.$ \\
{放物線と直線の間の面積の最小値 \\
傾きを$m$とすると,\ 点(1,\ 2)を通る直線の方程式は
直線①と$y=12x^2との交点のx座標は,\ 12x^2=mx-m+2\ の解である.$
整理すると $x^2-2mx+2m-4=0} ･･････②$
②の判別式をDとすると $ D4}=m^2-(2m-4)=(m-1)^2+3\ >0}$
②は異なる2個の実数解をもつから,\ これを$x=α,\ β$}\ $(α<β)$とおく.
解と係数の関係よ
点(x_1,\ y_1)を通る傾きmの直線の方程式 y=m(x-x_1)+y_1}
交点のx座標を求めるため,\ y=12x^2\,と直線①を連立する.
文字が多いので,\ 普通に解を求めると値が鬱陶しくなってしまう.
このように,\ 交点のx座標が鬱陶しい場合,\ 一旦文字でおいて計算し,\ 最後に代入する}のがよい.
放物線y=12x^2\,と直線①が異なる2点で交わることを確認した上でx座標を文字でおく.
常にD>0なので,\ mの値によらず,\ 異なる2点で交わる}ことがわかる.
放物線と直線の間の面積}では,\ 必ず∫{α}{β}(x-α)(x-β)\,dx=-16(β-α)^3\,を利用できるのであった.
面積Sが\,α,\ β\,を用いて表されるので,\ α,\ β\,を消去すればよい.
β-α\,は,\ α,\ β\,の交代式(2文字を入れ替えると符号が逆になる式)である.
交代式は2乗すると対称式になる}ので,\ 解と係数の関係}の利用して消去するがスマートである.
ax^2+bx+c=0の2解を\,α,\ β\,とするとき α+β=- ba,\ \ αβ= ca}
対称式は,\ 基本対称式\,α+β,\ αβ\,のみで表すことができるのであった.
(β-α)^2=α^2+β^2-2αβ=(α+β)^2-4αβ
(β-α)^3=\{(β-α)^2\}^{32}\ とすることで,\ 1}{12}(β-α)^3\,を基本対称式\,α+β,\ αβ\,で表せる.
α,\ β\,を消去すると括弧内がmの2次方程式となるので,\ 平方完成により最小値を求められる.}
なお,\ 4^{32}=(2^2)^{32}=2^3=8,\ \ 3^{32}=√{3^3}=3√3\ である.
実は,\ 解と係数の関係の利用せずに普通に解を求めて代入した方がわかりやすかったりする.
