解説で a[1/3(x-β)²] となっていますが、 a[1/3(x-β)³] の誤りですm(_ _)m
{2本の接線の交点を通る$y}$軸に平行な直線で分割すると,\ $13}$公式型面積に帰着する.
この他,\ 以下の2点を知識として持っておくことを推奨する.\ 証明は最後に示す.
知識① 2次関数の2本の接線の交点の$x}$座標は,\ 必ず接点の$x}$座標の中点になる.
知識② 左側と右側の面積が必ず等しくなる.
$(-\,2,\ 2)における接線の方程式は
$(4,\ 8)における接線の方程式は \
2つの接線の交点の$x$座標は
y’\,に接点(a,\ f(a))のx座標aを代入すると,\ その接点における接線の傾きf'(a)が求まる.
接線の方程式は y=f'(a)(x-a)+f(a)
さらに,\ 連立して2本の接線の交点を求める.
知識①を持っていれば,\ 連立せずとも2本の接線の交点のx座標が1となることがわかる.
x=1を境に下側の関数が変わるので,\ 積分区間を-2≦ x≦1と1≦ x≦4に分割して定積分する.
結局,\ 2次関数と接線とy軸に平行な直線で囲まれた面積}に帰着する.
この構図の面積は,\ 13\,公式を利用して求められるのであった.
整式f(x),\ g(x)に対して以下が成立する.
y=f(x)とy=g(x)がx=α\,で接する\,⇔\,f(x)-g(x)=0がx=α\,を重解にもつ
y=f(x)とy=g(x)がx=α\,で接する}\,⇔\,f(x)-g(x)が(x-α)^2\,を因数にもつ
よって,\ 12x^2-(-\,2x-2)=12(x+2)^2,\ \ 12x^2-(4x-8)=12(x-4)^2\,と瞬時に変形できる.
最後,\ 検算のために知識②を満たしているかを確認するとよい.
一般化すると,\ 裏技公式が導かれる.
$2次関数\ y=a}x^2+･･･\ と2本の接線の間の面積$
y=ax^2+bx+c上の点x=α,\ β\ (α<β)における接線をy=m_1x+n_1,\ y=m_2x+n_2\,とする.
(ax^2+bx+c)-(m_1x+n_1)=a(x-α)^2, (ax^2+bx+c)-(m_2x+n_2)=a(x-β)^2
2本の接線の交点のx座標は,\ m_1x+n_1=m_2x+n_2\,の解である.
関数の上下関係や\,α\,と\,β\,の大小関係が不明な場合も想定し,\ 絶対値をつけて計算すると以下となる.
最初に述べた知識①,\ ②が成立していることを確認してほしい.
面積を求めるだけならば,\ 積分計算は勿論,\ 接線の方程式や接線の交点の座標を求める必要もない.
記述試験で無断使用してはならないが,\ 穴埋め式試験や検算には有効である.
