isometric-condition3

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定積分の性質を利用}}するため,\ \bm{\textcolor{red}{S_1=S_2\ \Longleftrightarrow\ S_1-S_2=0}}$\ と考える. \\\\\\  $y=0\ とすると,\ x=0,\ 3\ (重解)$ \\[1zh]  $Cと\ y=mx\ の交点を考える.$ \\[.2zh]  $x^3-6x^2+9x=mx より x\{x^2-6x+(9-m)\}=0$ \\[.2zh]  よって $x=0\ \ または\ \ \textcolor{magenta}{x^2-6x+(9-m)=0\ (\maru1)}$ \\[.2zh]  $\maru1の2つの実数解を\ \textcolor{red}{x=\alpha,\ \beta}\ とする.$ \\  $\beta\neqq0\ より,\ 両辺を\ \beta^2\ で割って整理すると$ \\[.2zh]  ここで,\ $\beta\ は,\ \textcolor{magenta}{x^2-6x+(9-m)=0}\ の解である.$ \\[.2zh] が成立する.$ \\[.8zh]  これを\maru2に代入して整理すると    さらに,\ \maru2に代入して$m$を消去すると Cのグラフは,\ x=0を通り,\ x=3で接することを考慮して素早く描く. \\ 3次関数と直線の\ x=0\ 以外の交点のx座標を文字でおいたまま計算していく. \\[1zh] これを計算し,\ S_1=S_2\ とするのは大変なので,\ 条件を\ \bm{S_1-S_2=0}\ と考える. \\[1zh] 実は,\ \bm{\textcolor{red}{2曲線が3点で交わるときの2つの面積の差は1つの定積分にまとめられる.}} \\ 等積条件となる. \\[1zh] これを図形的意味を確認するために,\ \dint{0}{\beta}\{g(x)-h(x)\}\,dx\ を考える. \\ この定積分は,\ \bm{h(x)の上側の面積が正の値,\ 下側の面積が負の値}として求まる. \\ よって,\ \bm{上側と下側の面積が一致するとき,\ 打ち消し合って0になる}のである. \\[1zh] 本解では,\ \beta\ を求めるとき,\ \bm{方程式を用いた次数下げ}を利用した. \\ 普通に\ \maru1から\ \beta\ を求め,\ それを\maru2に代入すると,\ 次のようになる. \\ 整理すると 2\sqrt m=-m+3   両辺を2乗して 2乗で同値性が崩れるので,\ 求まった解が元の方程式を満たすかの確認が要る. \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\  \betu\ \ [\textbf{\textcolor{blue}{3次関数の対称性を利用(裏技)}}] \\[.5zh]  \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{3次関数は変曲点に関して点対称}}である. \\  よって,\ 対称性より,\ $\bm{\textcolor{red}{直線が変曲点を通るとき,\ S_1=S_2}}$\ となる. \\\\  $Cについて って,\ \textcolor{red}{変曲点は}