2次関数と直線間の面積、2つの2次関数間の面積、3次の係数が等しい2つの3次関数間の面積を求めるときの定積分は、必ず1/6公式を適用できる形に変形できる。1/6公式を使うことで、実質積分計算なしで面積を求めることができる(必要なのは2次の係数と交点のx座標のみ)。記述には多少の慣れが必要なので、理由を理解しつつ練習して、素早く記述できるようにしておこう。1/6公式そのものは裏技ではないが、途中過程を完全に省いてa/6公式で一気に答えだけを求めるのが有名な面積の裏技であり、センター試験などの穴埋め式試験においては最強の裏技の1つである。

16area

検索用コード
交点のx座標を求めた}]$} \\[1zh]   2次関数と直線の\bm{交点から交点まで}を積分することになる. \\ 交点の座標は,\ 当然2つの関数を連立して求める. \\ つまり,\ (2x^2-x-3)-(x+1)=0\ \cdots\maru1\ を計算し,\ x=-1,\ 2\ が求まる. \\[1zh] また,\ 面積を求めるとき,\ 上の関数から下の関数を引いたものを積分する. \\ 本問では,\ (x+1)-(2x^2-x-3)\ を積分することになる. \\ この被積分関数は,\ 正負を逆にすれば,\ \maru1の左辺と一致する. \\ よって,\ (x+1)-(2x^2-x-3)=0\ は,\ x=-1,\ 2を解にもつはずである. \\ このことを用いると,\ 次のような\bm{因数分解形に瞬時に変形}できる. \\ \bm{(x+1)-(2x^2-x-3)=-2(x+1)(x-2)}  (係数の-2を忘れない) \\[1zh] 次のような\bm{途中計算は一切必要ない}ことに注目してほしい. \\ 以上のことを一般化する. \\ 2次関数\ y=ax^2+bx+c\ (0)\ と\ 直線\ y=mx+n\ の間の面積を求める. \\ ax^2+bx+c=mx+n\ \cdots\maru2\ を解いて,\ 交点のx座標\ x=\alpha,\ \beta\ を得る. \\ 結局,\ \bm{2次関数と直線の間の面積計算では,\ \underline{必然的,\ 絶対的に}1/6公式が表れる.} \\ よって,\ 1/6公式の利用を見越して,\ 問題を解いていくことになる. \\ 普通に積分計算するのでは,\ 今後全く応用が利かなくなる. \\ 早い内に,\ 1/6公式に慣れてしまおう.\ 一旦慣れれば使わずにはいられなくなる. \\[1zh] 実際に,\ 本問でどのように1/6公式を用いて面積を求めるのかを確認する. \\ まず,\ 2次関数と直線の交点を求め,\ 図示する.\ 頂点など余計な点は必要はない. \\ 面積計算に必要なのは,\ \bm{共有点と2曲線の上下関係}だけなのである. \\ 本問程度であれば,\ 図示する必要性もあまりない. \\[1zh] 1/6公式で面積を求めるわけだが,\ 上では\bm{最低限必要な記述}で解答を示してある. \\ 記述で使用可能なのは\bunsuu16公式\ \bm{因数分解形の記述がないと,\ 突然1/6が登場し,\ 論理不足とみなされる}のである.  また,\ この解答を一般化・簡略化したものが,\ \textbf{\textcolor{blue}{有名な裏技}}である. \\\\ \centerline{$\bm{\textcolor{blue}{2次関数\ y=\textcolor{red}{a}x^2+\cdots\ と直線の間の面積}}$} \\[.5zh] aが正の場合と負の場合をまとめるため,\ 絶対値をつけておく. \\ \alpha\ と\ \beta\ の大小の考慮も避けたいならば,\ \zettaiti{\bunsuu a6(\beta-\alpha)^3}\ としてもよい. \\[1zh] この裏技公式の重要性・利便性は凄まじい. \\ \bm{x^2の係数と交点のx座標だけで,\ 面積を積分計算なしで瞬殺できる}のである. \\ それゆえ,\ 穴埋め式試験における最強の裏技の1つとなっている. \\[1zh] なお,\ 通常\bunsuu16公式と呼ばれるが,\ 係数を忘れやすいので,\ \bm{\bunsuu a6公式}と覚えておこう. 2つの2次関数の間の面積}}}} \\\\[.5zh] ゆえに,\ \bm{2つの2次関数の間の面積計算では,\ \underline{必然的,\ 絶対的に}1/6公式が表れる.}  これも,\ この解答を一般化・簡略化すると,\ \textbf{\textcolor{blue}{裏技}}となる. \\[1zh] 3次の係数が等しい2つの3次関数の間の面積}}}} \\\\[.5zh] x^3-3x^2+2x-(x^3-x)=0\ は,\ x=0,\ 1\ を解にもつ. \\ また,\ x^3の係数が等しいので,\ \bm{差は必ず2次以下の関数}になる. \\ よって,\ (x^3-3x^2+2x)-(x^3-x)=-3x(x-1)\ と変形できる. \\ ゆえに,\ \bm{\underline{x^3の係数が等しい}\ 2つの3次関数の間の面積計算にも,\ \bunsuu16公式が表れる.} \\[1zh] この2つの3次関数は,\ 次を考慮すると素早く図示できる.\ 当然,\ 極値は必要ない. \\  これも,\ この解答を一般化・簡略化すると,\ \textbf{\textcolor{blue}{裏技}}となる. \\[1zh]  $\bm{\textcolor{blue}{3次の係数が等しい2つの3次関数}}$ \\[.2zh]