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}四角形ABCDにおいて,\ 対角線の長さを$p,\ q$,\ 対角線のなす角を$\theta$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw}\ \ (1)\ \ 四角形ABCDの面積を$S$とするとき,\ $S=\bunsuu12pq\sin\theta$となることを示せ. \\[1zh] \hspace{.5zw}\ \ (2)\ \ 対角線の長さの和が1となる四角形のうち,\ 面積が最大になるのはどのような \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{\ \ (1)}\ \ 四角形か.\ また,\ 面積の最大値を求めよ. \\
対角線の長さとなす角で表された四角形の面積}}}} \\\\
(1)\ \ 対角線の交点をEとする. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $\mathRM{AE=a,\ BE=b,\ CE=c,\ DE=d}\ とおくと p=a+c,\ q=b+d$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $よって,\ \textcolor{red}{S=\bunsuu12(a+c)(b+d)\sin\theta}\ を証明すればよい.$ \\\\
\betu\ \ 対角線と平行な直線を四角形ABCDの頂点を通るように引く. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ このようにしてできる四角形FGHIは\textcolor{red}{平行四辺形}であり,\ その面積は$\textcolor{red}{pq\sin\theta}$である. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ よって,\ 四角形ABCDの面積は$\bm{S=\bunsuu12pq\sin\theta}$である. \\\\[1zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l}
本解は素直な解答である.\ 多角形の面積は,\ \bm{三角形に分割}が基本であった. \\[.2zh] 四角形\mathRM{ABCD}を対角線で4つの三角形に分割してそれぞれの面積を求めたわけである. \\[.2zh] \sin(180\Deg-\theta)=\sin\theta\ であるから,\ \mathRM{\angle\mathRM{AED}}=\theta\,としても同じである. \\[1zh] 本問には圧倒的に簡潔な別解があるので習得しておきたい. \\[.2zh] 四角形\mathRM{FGHI}は,\ 2組の対辺が平行になるので平行四辺形である. \\[.2zh] \triangle\mathRM{FHI}の面積は\,\bunsuu12pq\sin\theta\,であるから,\ 四角形\mathRM{FGHI}の面積はpq\sin\theta\,である. \\[.8zh] 四角形\mathRM{AEDF}も平行四辺形であり,\ 対角線\mathRM{AD}で面積が2等分される. \\[.2zh] 他も同様であるから,\ 四角形\mathRM{ABCD}の面積は四角形\mathRM{FGHI}の面積の半分である. \\[1zh] S=\bunsuu12pq\sin\theta\,は,\ 受験では\bm{裏技公式}の扱いとなる.\ 実用上は次の2点が重要である. \\[.8zh] \maru1\ \ \textbf{\textcolor{red}{四角形が円に内接している必要はない.}} \\[.5zh] \maru2\ \ \textbf{\textcolor{red}{面積から逆に対角線のなす角を求める}}ために使われることが多い. \\[1zh] なお,\ 記述試験で使用してよいかというのは愚問である. \\[.2zh] 別解のように簡潔に示しておけばよいのであり,\ わざわざ無断使用というリスクを冒す必要はない.
(2)\ \ $\textcolor{cyan}{p+q=1}$より $S=\bunsuu12pq\sin\theta=\bunsuu12p(\textcolor{cyan}{1-p})\sin\theta (0<p<1)$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $p(1-p)=-\left(p-\bunsuu12\right)^2+\bunsuu14$より,\ \ \textcolor{red}{$p=q=\bunsuu12$のとき$pq$は最大値$\bunsuu14$}をとる. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ また,\ $0\Deg<\theta<180\Deg$であるから,\ \textcolor{red}{$\theta=90\Deg$のとき$\sin\theta$は最大値1}をとる. \\\\
\phantom{ (1)}\ \ このとき $S=\bunsuu12pq\sin\theta=\bunsuu12\cdot\textcolor{red}{\bunsuu14}\cdot\textcolor{red}{1}=\bunsuu18$ \\\\[1zh] \centerline{\textbf{$\therefore$\ \ 長さがともに$\bm{\bunsuu12}$の対角線が直交するとき,\ 四角形の面積は最大値$\bm{\bunsuu18}$をとる.
(1)に対角線の長さの和が1という条件を反映させる. \\[.2zh] 結局,\ 2変数関数\,\bunsuu12p(1-p)\sin\theta\,の最大を考えることになる. \\[.8zh] 2変数関数の最大・最小は様々なパターンがあるが,\ 本問は最も簡単なパターンである. \\[.2zh] \bm{p(1-p)と\,\sin\theta\,の最大を別々に考えれば済む}からである. \\[.2zh] このような方法が可能なのは,\ \bm{2変数pと\,\theta\,が独立}(無関係に変化)だからである. \\[.2zh] 例えば,\ pが大きくなったからといって,\ \theta\,が大きくなるとか小さくなるとかといったことはない. \\[1zh] p(1-p)=-\,p^2+pは2次関数であるから,\ 平方完成して最大を求める. \\[.2zh] 図形問題で関数の最大を考えるとき,\ \bm{範囲があることが多い}ので注意が必要である. \\[.2zh] 本問の場合,\ 0<p<1の範囲で最大を考えることになる. \\[.2zh] また,\ 角度は\,0\Deg<\theta<180\Deg\,の範囲で考えることになる.