検索用コード
四角形$\mathRM{ABCD}は円に内接しており,\ \mathRM{AB=a,\ BC=b,\ CD=c,\ DA=d,\ AC=x,}$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\mathRM{BD=y}\ とする.$\ このとき,\ トレミーの定理$xy=ac+bd$が成り立つことを示せ. \\
要は,\ 円に内接する四角形の2本の対角線の長さx,\ yを求めればよく,\ その方法は学習済みである. \\[.2zh] \bm{2つの三角形に余弦定理を適用し,\ 対角線の長さを2通りに表す}のであった. \\[.2zh] すると\,\cos\,が求まり,\ 続いて対角線の長さも求められる. \\[.2zh] ただし,\ すべて文字なので式の整理が面倒である. \\[.2zh] 通分後,\ 分子は上手く項を組み合わせることにより,\ 因数分解できる. \\[.2zh] y^2\,はx^2\,の結果を利用すればよく,\ いちいち計算する必要も記述する必要もない. \\[.2zh] 図形的な対応を考えると,\ \bm{x^2\,の結果のaをb,\ bをc,\ cをd,\ dをaに変えるとy^2\,になる.} \\[.2zh] 最後,\ \underline{a>0,\ b>0}のとき\ \ a^2=b^2\ \Longleftrightarrow\ a=b\ \ を利用する.
{幾何的証明}
トレミーの定理には,\ 有名な幾何的証明がある. \\[.2zh] 自分でひらめくのは難しいかもしれないが,\ 極めて簡潔なので習得しておくべきである. \\[.2zh] 幾何が得意な学生は,\ \bm{長さの積\,→\,三角形の相似}と連想して証明にたどり着けるかもしれない. \\[.2zh] しかし,\ 制限時間がある試験中に幾何的考察するリスクは大きいので,\ 覚えておくのがベストである. \\[1zh] \bm{相似な三角形を作り出すため,\ 角度が等しくなるような補助線\mathRM{AE}を引く.} \\[.2zh] \bm{2組の相似な三角形に着目して比の式を立て,\ 両辺を足す}ことで導かれる. \\[.2zh] 円周角の定理より,\ \mathRM{\angle ACD=\angle ABE,\ \ \angle ACB=\angle ADE}である. \\[.2zh] また,\ \mathRM{\angle BAC=\angle BAE+\angle EAC=\angle DAC+\angle EAC=\angle EAD}である. \\[.2zh] \mathRM{\triangle ACDと\triangle ABE,\ \triangle ABCと\triangle AED}は,\ 2角が等しいからそれぞれ相似である. \\[1zh] トレミー(プトレマイオス)の定理は,\ 受験数学では裏技扱いになる. \\[.2zh] よって,\ 「記述試験で無断使用できますか?」という質問が後を絶たない.\ しかし,\ 愚問である. \\[.2zh] ロピタルの定理(数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I})のように証明が高校範囲を超えるならば,\ 質問するのもうなずける. \\[.2zh] しかし,\ トレミーの定理の幾何的証明は中学範囲であり,\ 知っていれば記述も1分程度で済む. \\[.2zh] リスクを冒して無断使用せずとも,\ \bm{証明を覚えておき,\ 記述してから使用}すればよいのである. \\[.2zh] 他の受験生と差別化でき,\ 証明そのものが問われた場合にも対応でき,\ 一石二鳥である. \\[.2zh] 無断使用できるか否かを心配したり質問したりする暇があったら,\ この幾何的証明を習得してほしい. \\[.2zh] トレミーの定理を利用できる代表的な問題は,\ 次ページで紹介する.