検索用コード
ABCにおいて,\ AB=6,\ AC=5,\ \angle A=60\Deg\ とし,\ \angle Aの二等分線と辺BCの}$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\phantom{(1)}\ \mathRM{交点をDとするとき,\ 線分ADの長さを求めよ.}$ \\\\
\hspace{.5zw}$(2)\ \ \mathRM{\triangle ABCにおいて,\ AB=4,\ AC=5,\ BC=6\ とし,\ \angle Aの二等分線と辺BCの交}$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\phantom{(1)}\ \mathRM{点をDとするとき,\ 線分ADの長さを求めよ.}$ \\
三角形の頂角の二等分線の長さ}}}} \\\\
二等分線の長さの問題は,\ 基本2パターンを習得する. \\[.2zh] さらに,\ 裏技公式があるので覚えておくとよい. \\}{頂角が60\Deg,\ 90\Deg,\ 120\Deg}}\ の場合$ \\[.5zh] \phantom{ (1)} $\bm{\textcolor{red}{二等分線の長さをxとおき,\ 面積を2通りに表す.}}$ \\\\
(2)\ \ $\bm{\textcolor{magenta}{3辺の長さが判明}}している場合$ \\[.5zh] \phantom{ (1)} $\maru1\ \ \bm{\textcolor{cyan}{角の二等分線と辺の比の関係\ \mathRM{AB:AC=BD:DC}}}\ (数\text A)\ を用いる.$ に余弦定理を適用}}し,\ \bm{\textcolor{red}{3辺の長さから\cos Bを求める.}}$ \\[.2zh] に余弦定理を適用}}し,\ \bm{\textcolor{red}{二等分線の長さ\mathRM{AD}を求める.}}$ \\\\\\
(1)も(2)も,\ \bm{共通するものを2通りに表す}という発想が根幹にある. \\[1zh] (1)\ \ 頂角が60\Deg,\ 90\Deg,\ 120\Deg\,なら2等分角も綺麗になるので,\ \bm{面積を2通りに表す}解法が有効である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 頂角が30\Deg\,などの場合も同様の解法が可能だが,\ 数\text{I\hspace{-.1em}I}の知識を要する. \\[1zh] (2)\ \ 高校数学において,\ \bm{二等分線ときたらとにかく辺の比の関係}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これを用いると,\ \mathRM{BD}の長さを求めることができる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 後は,\ \mathRM{\triangle ABCと\triangle ABD}に対して余弦定理を適用すればよい. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{\cos Bを2通りに表す}と考えても全く同じである.\ \mathRM{AD}=xとおく. \\[0zh] \phantom{(1)}\ \ \mathRM{\triangle ABCと\triangle ABD}に対して余弦定理より
角の二等分線の長さには有名な\textbf{裏技}があるので,\ 幾何的な証明とともに紹介する. \\[1zh] \centerline{$\bm{\textcolor{blue}{三角形の頂角の二等分線の長さの裏技公式}}$  {n{ab-cd}}}$}}} \\\\
\syoumei\ \ 直線ADと$\triangle$ABCの外接円の交点をEとし,\ 長さを下図のように設定する. \\[.5zh] \ $\triangle\mathRM{ABD\souzi\triangle AEC}$\ (2角が等しい)より\ \ $a:x=(x+y):b$  $\therefore\ \ x^2+xy=ab$ \\[.5zh] \ 一方,\ 方べきの定理より\ \ $xy=cd$     $\therefore$ $x^2=ab-cd$ \\