次の公式により,\ 2辺とその間の角の${sin}$から三角形の面積を求めることができる. {三角形の面積の公式 1/2bcsinA 証明を示す.\ 鋭角三角形,\ 直角三角形,[3]\ 鈍角三角形に分けて示す必要がある. 図の鋭角三角形において,\ 頂点Bから辺ACに下ろした垂線をBHとする. 図の直角三角形において,\ $S={AC AB2}=12bc$である. において$A=90°$とすると$12bc$となるから,\ は$A=90°$のときも成り立つ. 図[3]の鈍角三角形において,\ 頂点Bから辺ACの延長線上に下ろした垂線をBHとする. 直角三角形ABHにおいて,\ $∠{BAH}=θ$とすると $sinθ=BH{c}$ ここで,\ $sinθ=sin(180°-A)=sin A$より$sin A=BH{c}\ であるから {BH}=csin A$ 3辺の長さから面積を求めるという最も重要な面積問題である.\ 普通,\ 3つの過程を踏む必要がある. 余弦定理でcos を求める. cos A={b²+c²-a²}{2bc} sin²θ+cos²θ=1を用いてcosからsinを求める. 面積の公式S=12bcsin A\ を適用する. 3辺が整数の三角形の面積を求めるだけならば,\ ヘロンの公式が有効(証明を含む詳細は別項目). ヘロンの公式\ S={s(s-a)(s-b)(s-c)}\ (s={a+b+c}{2}) s={4+5+6}{2}={15}{2}\ より S=15}{2}725232}={157}{4} {「2つの三角形に共通するものを2通りに表す」}という発想により,\ 中学生的に求めることもできる. {A}から辺{BC}に下ろした垂線の足を{H}とし,\ {BH}=xとする. {ABHと ACH}に着目し,\ 三平方の定理を用いて{AH}²を2通りに表すと の方法を学習すると,\ 短絡的にも同じ方法をとりがちである. しかし,\ {二等辺三角形}であるは,\ {中学生的に求める}のがよい. 二等辺三角形では,\ {頂角から下ろした垂線が底辺を二等分する.} よって,\ 三平方の定理で垂線の高さを求めることができ,\ 後は\ (底辺)(高さ)2\ である. 二等辺三角形を中学生的に求めると,\ 今度はも同様の方法で求めてしまいがちである. しかし,\ {正三角形ならば,\ 60° なのでS=12bcsin Aを利用すると一発で求まる.} 直角三角形なら三平方の定理が成り立つが,\ 逆に{三平方の定理が成り立つなら直角三角形}である. よって,\ 直角三角形であることに気付きさえすれば,\ (底辺)(高さ)2で瞬殺できる. {(3,\ 4,\ 5)と(5,\ 12,\ 13)は,\ 3辺が整数の直角三角形の代表}である. これは{暗記事項}であり,\ 気付けなかった人は学習不足である. また,\ (6,\ 8,\ 10)など,\ 比が(3,\ 4,\ 5),\ (5,\ 12,\ 13)と同じものも直角三角形である(相似だから).
