放物線$y=-\,x^2+2xとx軸で囲まれた面積がy=ax\ )によって2等分$
$されるとき,\ 定数aの値を求めよ.$ \\
等積条件の工夫① $S=2S_1}
-\,x^2+2x=-\,x(x-2)=0より,\ y=-\,x^2+2xとx軸の交点のx座標はx=0,\ 2である.
また,\ y=-\,x^2+2xと原点を通る直線y=axとの交点のx座標はx=0,\ 2-aである.
であることにも注意し,\ 素早く図示する.
さて,\ 2等分の条件は,\ 単純にはS_1=S_2\,である.
しかし,\ 複雑な形のS_2\,は求めるのが面倒である.
そこで,\ 2等分の条件をS_1=S_2\,ではなく,\ S=2S_1}\,と考えるのが本問最大のポイントである.
SとS_1\,はいずれも放物線と直線で囲まれた部分の面積なので\,16\,公式を用いて求められる}のである.
∫{α}{β}(x-α)(x-β)\,dx=-16(β-α)^3
本問のS=2S_1\,の考え方や\,16\,公式の重要さは,\ 単に計算が楽になるというだけではない.
面積が( )^3\,の形で求まることで,\ 2等分の条件の3次方程式が解ける}という点が重要である.
3次方程式(2-a)^3=4を解くには,\ この形のまま両辺を3乗根する}必要がある.
16\,公式を使わずにまともに計算すると,\ 展開したa^3-6a^2+12a-4=0が導かれてしまう.
有理数係数の範囲では因数分解できない3次方程式なので,\ 多くの学生がここで詰むことになる.
立方完成により本解と同様の(a-2)^3=-\,4を導くこともできるが,\ 高校では習わない手法である.
以下のように2次方程式を平方完成して解く手法の3次方程式バージョンである.
