本項目は数学B：数列の漸化式の知識を要します。
関数の列}\ f_1(x),\ f_2(x),\ ･･････,\ f_n(x)\ が定積分を含む漸化式で定義されている.
f_1(x)が与えられれば,\ 漸化式からf_2(x)が定まる.
同様にして順次f_3(x),\ f_4(x),\ ･･････\,が定まっていく.
∫{0}{1}f_n(t)\,dt\ は,\ 積分区間が定数から定数なので,\ f_n(t)が何であれ定数になる.}
よって,\ 文字定数でおくことができる.\ つまり,\ 前項の積分方程式(定数型)と同様に扱える.
ただし,\ f_n(x)はnによって式が変わっていくから,\ 定積分∫{0}{1}f_n(t)\,dtの値もnによって異なる.}
よって,\ 単純に\ ∫{0}{1}f_n(t)\,dt=k\ とおくことはできず,\ ∫{0}{1}f_n(t)\,dt=a_n}\ とおくことになる.
後は,\ a_{n+1}\,を計算}していくと,\ 特殊解型2項間漸化式a_{n+1}=pa_n+q}に帰着する.
この型の漸化式は,\ まず\ a_{n+1}=a_n=α\ として特殊解\,α\,を求める.
本問の場合,\ α=13+12α\,より,\ α=23\,である.
α\,を用いると,\ a_{n+1}=pa_n+qは等比数列型a_{n+1}-α=p(a_n-α)}に帰着する.
漸化式を解いてa_n\,が求まるとf_{n+1}(x)も求まるので,\ f_n(x)に変換する.
単純にn\ →\ n-1とすればよいが,\ このとき\ n≧2としなければならない}ことに注意する.
f_1(x)においてn\ →\ n-1とするとf_0(x)となってしまい,\ n≧1に矛盾するからである.
最後に,\ n=1の場合とn≧2の場合をまとめて答えることができないかを考える.
n≧2の式に試しにn=1を代入してみると,\ f_1(x)=x^2+10}{3}x\ となる.
これは問題で与えられたf_1(x)=2x+1と一致しない.
よってまとめて答えることはできず,\ n=1とn≧2の場合を分けて答える}ことになる.
