「不定積分を求めよ」とありますが、「定積分を求めよ」の誤りです。
関数$f(x)$の原始関数の1つを$F(x)$とするとき
$a$をこの定積分の下端,\ \ $b$を上端,\ \ $a≦ x≦ b$を積分区間という.
原始関数としてF(x)+Cを用いると [F(x)+C}{a}{b}=\{F(b)+C\}-\{F(a)+C\}=F(b)-F(a)
結局Cは消えるので,\ 最初からC=0として計算すれば済む.
定積分の性質
\ [4]\ \ }(右辺)=[F(x)}{a}{c}=F(c)-F(a)
\ [4]\ \ }∫{a}{b}f(x)\,dxの値は,\ 区間a≦ x≦ bでy=f(x)\ (≧0)とx軸で挟まれた部分の面積}を表す.
\ [4]\ \ }よって,\ [4]の図形的意味は右図のようになる.
\ [4]\ \ }数式自体は,\ ,\ f(x)≧0でない場合にも成立する.
{偶関数と奇関数の定積分
$n$を0以上の整数とする.
[1]\ \ 偶関数\ $x^{偶数$\ ($y}$軸対称) 奇関数\ $x^{奇数$\ (原点
積分区間が対称な定積分}では,\ 偶関数・奇関数を意識すると計算を大幅に簡略化できる.
f(-\,x)=f(x)}を満たす関数f(x)を偶関数という.
図形的には-xのときのy座標f(-\,x)とxのときのy座標f(x)が等しい,\ 要はy軸対称}である.
f(-\,x)=-\,f(x)}を満たす関数f(x)を奇関数という.
図形的には-xのときのy座標f(-\,x)とxのときのy座標f(x)の正負が逆,\,要は原点対称}である.
数II}の範囲の積分では,\ 偶数乗か奇数乗かが重要である.
f(x)=x^{2n}\ (偶数乗)のとき,\ (-\,x)^{2n}=(-\,1)^{2n}x^{2n}=x^{2n}\ より,\ y軸対称である.
f(x)=x^{2n-1}\ (奇数乗)のとき,\ (-\,x)^{2n-1}=(-\,1)^{2n-1}x^{2n-1}=-\,x^{2n-1}\ より,\ 原点対称である
数式での証明は以上だが,\ 図形的に理解しておくのがわかりやすく実戦的である.
[1]}\ \ y軸対称}の場合,\ -\,a≦ x≦ aの面積は0≦ x≦ aの面積を2倍}すれば済む.
[2]}\ \ x軸より下の部分の面積は,\ 定積分計算すると負の値として出てくる.
[2]}\ \ よって,\ 原点対称}ならば,\ -\,a≦ x≦0の面積と0≦ x≦ aの面積が打ち消し合って0になる.}
(1)\ \ 普通に計算しようとすると本解の方法になる.
\ \ F(x)=23x^3-52x^2+8xとしてF(5)-F(1)を計算するものである.
\ \ 初学者は括弧内を先に計算しがちだが,\ 分母が同じ分数同士で計算していく}と楽になる.
\ \ どうせ分母が同じ分数を先に計算するならば,\ 最初から別解のように計算するのがよい. と考えて計算することに等しい.
(2)\ \ 定積分では,\ 積分変数によらず最終的な答えは同じになる.
(3)\ \ 積分区間が等しい定積分は,\ 定積分の性質を用いて合体してから計算する.}
\ \ ∫{a}{b}\{kf(x)-lg(x)\}\,dx=k∫{a}{b}f(x)\,dx-l∫{a}{b}g(x)\,dxを逆向きに変形するわけである.
\ \ 不定積分とは違い,\ 積分区間が等しい場合にのみ合体できる}ことに注意する.
(4)\ \ 関数が等しく,\ かつ積分区間がつながる定積分は合体してから計算する.} ∫{a}{b}+∫{b}{c}=∫{a}{c}
(5)\ \ 関数が等しいので合体できないかを考える.
\ \ そのままでは無理だが,\ -∫{b}{a}=∫{a}{b}を用いることで合体できる.
\ \ ∫{a}{b}+∫{b}{c}=∫{a}{c}\ は,\ a
