等積条件の工夫② 絶対値付き2次関数と直線で囲まれた2つの部分の面積が等しくなる条件 S₁+S₃=S₂+S₃

スポンサーリンク
放物線$y=x^2-2x}\ とy=axで囲まれてできる2つの部分の面積が$ $等しくなるとき,\ 定数aの値を求めよ.$ \\ 等積条件の工夫② $S_1+S_3=S_2+S_3}$ \\   $y=-\,x^2+2x$と$y=ax$で囲まれた部分の面積を$S_1$とする.   $y=x^2+2x}$と$y=ax$で囲まれた部分のうち,\ $S_1$以外の部分の面積を$S_2$とする.   $y=x^2-2x$と$y=ax$で囲まれた部分のうち,\ $S_2$以外の部分の面積を$S_3$とする. 前項の等積条件の工夫①が習得済みであることを前提として解説する. 全体に絶対値がついたy=x^2-2x}\,のグラフは,\ y=x^2-2xのy≦0の部分をx軸で折り返す. 場合分けして\,x^2-2x}\,の絶対値をはずし,\ 原点を通る直線y=axとの交点を求める. 絶対値は,\ 中身が0以上ならばそのまま,\ 0以下ならば-をつけてはずす. さて,\ S_2\,の面積は,\ 普通に求めようとするとx=2で分割することになり,\ 面倒である. そこで,\ 等積条件のS_1=S_2\,をS_1+S_3=S_2+S_3}\,と考える. S_1+S_3\,とS_2+S_3\,がいずれも\,16\,公式で求められる}ことに着目するのである.  ∫{α}{β}(x-α)(x-β)\,dx=-16(β-α)^3 S_1+S_3\,は,\ y=-\,x^2+2x\ とx軸で囲まれた部分の面積の2倍と考えて求めるとよい. S_2+S_3\,は,\ y=axとy=x^2-2x\,で囲まれた部分の面積である. 最後の3次方程式は展開すると解けなくなる.\ 両辺を3乗根}すればよい. \\[.2