絶対値付き2次関数と直線で囲まれた面積の和の最小(1/6公式パズル)

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全体に絶対値がついたy=x^2-2x}\,のグラフは,\ y=x^2-2xのy≦0の部分をx軸で折り返す. 場合分けして\,x^2-2x}\,の絶対値をはずし,\ 原点を通る直線y=axとの交点を求める. 絶対値は,\ 中身が0以上ならばそのまま,\ 0以下ならば-をつけてはずす. さて,\ ②の面積は,\ 普通に求めようとするとx=2\ で分割することになり,\ 面倒である. 実は,\ ①+②は\,16\,公式により積分計算なしで求められる.} ∫{α}{β}(x-α)(x-β)\,dx=-16(β-α)^3 直接\,16\,公式で求められるのは,\ ①,\ ①+③,\ ④,\ ②+③+④\ の4つの面積}である. この4つの面積をS_1,\ S_2,\ S_3\,とし,\ ①+②を表せばよい. このとき,\ パズル的にうまく足したり引いたりして組み合わせる必要がある. 最初は混乱するかも知れないが,\ 一度理解してしまえば大して難しくないことに気付くだろう. Sはaの3次関数になるので,\ 微分してSが最小となるaの値を求めることになる.