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ABCにおいて,\ 辺BCの中点をMとする. \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ このとき,\ $\mathRM{AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)}$\ (中線定理)が成り立つことを示せ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $\triangle$ABCにおいて,\ $a=4,\ b=5,\ c=6$,\ 辺BCの中点をMとする. \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(2)}\ \ このとき,\ 線分AMの長さを求めよ. \\
中線定理}{AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)}}$} \\\\\\
(2)\ \ 中線定理より\ \ $\textcolor{red}{4^2+5^2=2(\mathRM{AM}^2+3^2)}$   $\therefore\ \ \bm{\mathRM{AM}=\bunsuu{23}{2}}$ \\\\
頂点と対辺の中点を結ぶ線分を中線という.\ 中線定理は,\ パップスの定理とも呼ばれる. \\[.2zh] 座標平面(数\text{I\hspace{-.1em}I})やベクトル(数\text B)による証明が自然な気もするが,\ ここでは三角比を利用する. \\[.2zh] \bm{2つの三角形にそれぞれ余弦定理を適用して整理し,\ 2式の両辺を足す}ことで導かれる. \\[.2zh] 2式の両辺を足すことで\,\bm{\cos\theta\,がある項を消去}でき,\ 長さのみの関係式が得られるわけである. \\[1zh] 中線定理は記述試験で無断使用してよく,\ 中線の長さを求めるときに利用できる. \\[1zh] もし中線定理を忘れた場合,\ 二等辺三角形で同様の手順をとるとよい(下図). \\[.2zh] 三平方の定理より\ \mathRM{AB^2=AM^2+BM^2,\ \ AC^2=AM^2+CM^2 \ \ \therefore\ AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)}
\triangle$ABCにおいて,\ 辺BCを$m:n$に内分する点をDとする. \\[.2zh] \hspace{.5zw}このとき,\ $\mathRM{nAB^2+mAC^2=nBD^2+mCD^2+(m+n)AD^2}$が成り立つことを示せ. \\
{スチュワートの定理
証明は中線定理と同様だが,\ \cos\theta\,を消去するために\bm{\maru1をn倍,\ \maru2をm倍して足す.} \\[1zh] 中線定理を拡張したこの定理をスチュワートの定理という. \\[.2zh] こちらは記述試験で無断使用すべきではない.\ m:n=1:1とすると中線定理が得られる.