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3辺の長さ$a,\ b,\ c$から直接三角形の面積$S$を求める公式がある. \\\\
余弦定理\ \cos A=\bunsuu{b^2+c^2-a^2}{2bc}\ を用いて,\ 公式S=\bunsuu12bc\sin Aを3辺の長さのみの式に変形する. \\[.8zh] 一見鬱陶しく見える証明だが,\ 因数分解した後sで表し直すだけである. \\[.2zh] 根号の中を通分後,\ 分母は根号の外に出し,\ 分子はA^2-B^2=(A+B)(A-B)を適用する. \\[.2zh] 整理してb^2+2bc+c^2,\ b^2-2bc+c^2\,を作ると,\ 再びA^2-B^2=(A+B)(A-B)を適用できる. \\[.2zh] 後は,\ これをs=\bunsuu{a+b+c}{2}\ で表す.\ 式からわかるように,\ \bm{sは周長の半分}を意味する. \\[.6zh] a+b+c=2sと考えると,\ b+c=2s-aよりb+c-a=2s-2a\ などとできる. \\[1zh] さて,\ ヘロンの公式は\bm{3辺が整数の三角形の場合}には非常に強力である. \\[.2zh] 一方,\ 3辺に根号が含まれていたりすると,\ sが複雑な形になり計算がかなり面倒になる. \\[.2zh] その場合は,\ 普通に\,\bunsuu12bc\sin Aで求める方針の方が楽になる. \\[.8zh] なお,\ ヘロンの公式は裏技ではないので記述試験でも堂々と使ってよい.
a=4,\ b=5,\ c=6である\,\triangle\mathRM{ABC}の面積Sを求めよ.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$(2)\ \ a=3+\ruizyoukon2,\ b=3-\ruizyoukon2,\ c=4である\,\triangle\mathRM{ABC}の面積Sを求めよ.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$(3)\ \ a=\ruizyoukon5,\ b=\ruizyoukon6,\ c=\ruizyoukon7\ である\,\triangle\mathRM{ABC}の面積Sを求めよ.$ \\
(1)\ \ 3辺が整数なのでヘロンの公式が極めて有効である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 3辺の和a+b+cが偶数になる場合にはさらに効果的である. \\[1zh] (2)\ \ 3辺に無理数を含む三角形は,\ 基本的にはヘロンの公式で求めるのが困難である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ しかし,\ 本問のように共役な無理数である場合にはsが簡潔になるので有効である. \\[1zh] (3)\ \ s=\bunsuu{\ruizyoukon5+\ruizyoukon6+\ruizyoukon7}{2}\ となるので,\ ヘロンの公式を適用しても面倒なだけである. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ この場合,\ ヘロンの公式の導出の途中で現れる式\,\maru A\,を適用する裏技的方法がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \maru A\,は2乗のみでできた式なので,\ 無理数があっても容易に計算できるというわけである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ しかし,\ 記述試験で無断使用するのは避けた方がよい.