ABCが${sin A}{7}={sin B}{8}={sin C}{13}$を満たすとき,\ 最大角の大きさを求めよ. $$ABCが$(a+b):(b+c):(c+a)=4:5:6$を満たすとき,\ $C$を求めよ. $$ABCが$A:B:C=3:4:5$を満たすとき,\ $a:b$を求めよ. [-.8zh] { 正弦定理(比例式)と余弦定理 正弦定理}より $a:b:c=sin A:sin B:sin C=7:8:13}$ { }よって,\ $a=7k,\ b=8k,\ c=13k\ (k>0)}$\ とおける. { }また,\ 最大辺は$c$であるから,\ 最大角は$C$}である. 分数が等しいと言うことは比が等しいということである. は,\ sin A:sin B:sin C=7:8:13\ を意味する. さらに正弦定理\ a:b:c=sin A:sin B:sin C\ を考慮して,\ 角度の条件を辺の比の条件に変換できる. 3辺の比さえわかれば,\ 3辺の長さがわからなくても角度は求められる. 3辺の比が等しい三角形はすべて相似であり,\ 三角形の大きさによらず角度は同じだからである. 3辺から角度を求めるには余弦定理を用いるのであった.\ このためには3辺の長さが必要である. {比例式が与えられた場合,\ 比率を文字で設定して通常の等式に変換する}のが定石である. さらに,\ 三角形の角の大小は辺の大小と一致することから最大角を特定し,\ 余弦定理を適用する. 最終的に比率kは消え,\ Cが求められる. 比例式を通常の等式に変換してa,\ b,\ cを求める. さて,\ {a,\ b,\ cが循環した連立方程式には特有の解法がある.} まず3式の両辺を足す. 2(a+b+c)=15k より a+b+c={15}{2}k この式から最初の3式をそれぞれ引けばよい.\ 例えば,\ b+c=5kを引くとa=52k\ が求まる. 余弦定理を適用するとき,\ 12k=lとおいてa=5l,\ b=3l,\ c=7lとすると計算が楽になる. 角の比を通常の等式に変換し,\ 三角形の内角の和が180°であることを用いると3角が決定する. 後は正弦の比を求めればそれが辺の比である.
