対数の性質と底の変換公式の証明

logarithm-property
$log_aMN=log_aM+log_aN\ が成り立つことを示せ.$  \ $log_aM^k=klog_aM\ が成り立つことを示せ.$ $a,\ b,\ cは正数,\ a1,\ c1とする.$  \ $log_ab={log_cb}{log_ca}\ が成り立つことを示せ.$  もともと,\ 対数の性質は,\ 指数法則から導かれたものである.  証明は,\ 対数を文字でおき,\ 指数形にして指数法則を用いた後,\ 対数に戻す. { }\ 底$aで両辺の対数をとると log_aMN=p+q}=log_aM+log_aN$ { }\ よって ${log_aMN=log_aM+log_aN}$ が成り立つ.   \ $log_aM=p}\ とおくと M=a^p}$ { }\ $両辺をk乗すると M^k=(a^p)^k=a^{pk} より M^k=a^{pk$ { }\ 底$aで両辺の対数をとると log_aM^k=pk}=log_aM k$  \ $log_ab=p}\ とおくと b=a^p}$ { }\ 底$c$で両辺の対数をとると $log_cb=log_ca^p}=plog_ca$  $[の性質を適用}]$} \ { }\ $b=a^p,\ a=c^q より b=a^p=(c^q)^p=c^{qp$ { }\ 一方 $b=c^{r であるから qp=r} が成り立つ.$ { $[l} は,\ 指数法則\ a^p a^q=a^{p+q}\ から導かれる. は,\ 指数法則\ (a^p)^q=a^{pq}\ から導かれる. ちなみに,\ {a^p}{a^q}=a^{p-q}\ から,\ log_a MN=log_aM-log_aN\ が導かれる
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