対数logaMの値、対数の定義の別表現 alogaM=M

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log_3243$ & (2)\ \ $\log_71$ & (3)\ \ $\log_{0.2}0.008$ & (4)\ \ $\log_{\frac12}32$ & (5)\ \ $\log_{4}\ruizyoukon{\bunsuu{1}{64}}$ \\[1.3zh] (6)\ \ $\log_{\sqrt3}\bunsuu19$ & (7)\ \ $\log_{5}0.04$ & (8)\ \ $\log_{8}4$ & (9)\ \ $\log_{27}\ruizyoukon{3}$ & (10)\ \ $\log_{0.2}5\ruizyoukon5$ 対数$\bm{\log_aM}$の値}}}} \\\\[.5zh]  $対数の定義は,\ a>0,\ a\neqq1,\ M>0のとき\ \bm{a^{\textcolor{red}{p}}=M\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{p=\log_aM}}\ であった.$ \\[.2zh]  $よって,\ \log_aMの値pは,\ \bm{\textcolor{red}{底aを何乗すると真数Mになるか}}を考えると求まる.$ \\[.2zh]  $指数計算の場合と同様,\ 頻出の累乗を暗記しておくと素早く解答できる.$ \\[2zh] (1)\ \ 底が3なので,\ 243が3の何乗かを考えると3^5=243に気付く. \\[1zh] (2)\ \ \bm{底が何であれ0乗すると1}になる.\ \log_71=\bunsuu17\,とする\bm{間違い}が多いので注意してほしい. \\[1zh] (3)\ \ (0.2)^3=0.008に気付きたい.\ 最悪,\ 小数を分数で表せばよい. \log_{\frac{2}{10}}\bunsuu{8}{1000}=\log_{\frac15}\bunsuu{1}{125}=3 \\[1zh] (4)\ \ 32は\left(\bunsuu12\right)^{5}=\bunsuu{1}{32}\,の逆数なので,\ \bm{-\,乗}すればよい.\ \ \bm{a^{-r}=\bunsuu{1}{a^r}}\,であった. \\[1.2zh] (5)\ \ 4^3=64の利用が速い.\ \ruizyoukon{\bunsuu{1}{64}}=\bunsuu18\ としてしまうと面倒になる.\ また,\ \bm{\ruizyoukon[n]{a^m}=a^{\frac mn}}\,であった.\ \\[1zh] \phantom{(4)}\ \ 逆数が-乗,\ \ruizyoukon{ }が\,\bunsuu12\,乗なので,\ 結局-\bunsuu32\,乗となる. \\[1.3zh] (6)\ \ (\ruizyoukon3\,)^2=3より,\ \{(\ruizyoukon3\,)^2\}^2=(\ruizyoukon3\,)^4=9である. \\[1zh] (7)\ \ 5を何乗すると0.04になるかをこのままの形で考えるのは無理がある.\ 真数を分数に直せばよい. \\[1zh] (8)\ \ 底が素数でない場合,\ 何乗かを考えることが難しい場合が多い. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 底の変換公式\ \bm{\log_ab=\bunsuu{\log_cb}{\log_ca}}\ により,\ \bm{底を素数に変換する.} \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 本問は8と4があるので2にする.\ 自分の好きな底に変換できるので極めて有用な公式である. \\[1zh] (9)\ \ 底を3に変換する. \\[1zh] (10)\ \ 底を分数に直して考える.\ \ 5\ruizyoukon5=5^1\cdot5^{\frac12}=5^{1+\frac12}=5^{\frac32}\ である. 次の値を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $3^{\log_35}$    (2)\ \ $8^{\log_25}$    (3)\ \ $5^{\frac{1}{\log_25}}$    (4)\ \ $\left(\bunsuu{1}{\ruizyoukon2}\right)^{\log_2\frac{5}{3}}$ \\[1zh] 対数の定義の別表現$\bm{a^{\log_aM}=M}$}}}} \\\\[.5zh]  対数の定義は $a>0,\ a\neqq1,\ M>0のとき \bm{\textcolor{red}{a^p=M\ \Longleftrightarrow\ p=\log_aM}}$ \\[.5zh]  $\textcolor[named]{ForestGreen}{a^p=Mのpをp=\log_aM に置き換える}$と {\large $\bm{\textcolor{red}{a^{\log_aM}=M}}$} \\[.5zh]  対数の定義を書き換えただけの関係式で認知度も低いが,\ 意外に使用頻度は高い. \\\\\\ (1)\ \ もろにa^{\log_aM}=Mなので瞬殺できる.\ a^{\log_aM}=Mを知らない場合用の解答も示す(別解). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 一旦文字Aでおき,\ 両辺の対数をとる.\ そして,\ Aを求めることを目指す. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問に限らず,\ \bm{指数が鬱陶しい場合,\ 一旦対数をとって考える}のが定石である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 対数の性質\bm{\log_aM^r=r\log_aM}を用いて鬱陶しい指数を前に出せるからである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 指数の\log_35を前に出せ,\ \log_33=1より,\ \log_35=\log_3Aとなる.\ つまり,\ A=5である. \\[1zh] (2)\ \ a^{\log_aM}=Mを利用するためにはaをそろえる必要がある.\ 8=2^3\,と考えればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \log_aM^r=r\log_aMを利用して3を移動することでa^{\log_aM}\,の形になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 別解1の場合も同様にして3を移動することで\log_2○=\log_2Aの形になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 別解2は裏技公式\ \bm{a^{\log_bc}=c^{\log_ba}\ (aとcが交換できる)}\ を利用するものである. \\[1zh] (3)\ \ a^{\log_aM}=Mを利用するため,\ 底の変換公式\ \bm{\log_ab=\bunsuu{\log_cb}{\log_ca}}\ で底を5に変換する. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{\log_ab=\bunsuu{1}{\log_ba}}\ を公式として覚えていると時間短縮できる(別解). \\[1.3zh] (4)\ \ a^{\log_aM}=Mを利用する本解とa^{\log_bc}=c^{\log_ba}\,を利用する別解を示した.
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