anrとa-nrの対称式・交代式の値

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まず,\ 数Iで学習済みの対称式について最低限の基本事項をおさらいする. \\[.2zh]  \textbf{\textcolor{blue}{対称式}}とは,\ \textbf{\textcolor{magenta}{文字を入れ替えても変わらない式}}である. \\[.2zh]  例えば,\ $x^2+y^2$で$x\,→\,y,\ y\,→\,x$としても結局同じ式になるから,\ これは対称式である. \\[1zh]  そして,\ \textbf{\textcolor{red}{すべての2変数対称式は基本対称式$\bm{x+y,\ xy}$のみで表すことができる.}} \\[.2zh]  最も代表的な2変数対称式の基本対称式への変形として以下の2つがあった. \\[.5zh] (1)\ \ 対称式の基本的な変形を行うだけである. \\[1zh] (2)\ \ \bm{\bunsuu1a=(a^{-\frac13})^3}\,であることに気付けば,\ 対称式の基本的な変形を行うだけである. \\[.8zh] \phantom{(2)}\ \ x^2+y^2\,に相当するa^{\frac23}+a^{-\frac23}\,が(1)で既知である. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ この場合,\ \bm{x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)}を利用するのも有効である(別解). \\[1zh] (3)\ \ a^{\frac43}+a^{-\frac43}=(a^{\frac13})^4+(a^{-\frac13})^4\,だが,\ 4乗は2乗の2乗とみなすのが基本である. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 要は,\ \bm{x^4+y^4=(x^2)^2+(y^2)^2=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2}\ である. \\[1zh] (4)\ \ 2乗すると(2)の形が出てくることに着目する. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ a+a^{-1}=(a^{\frac12}+a^{-\frac12})^2-2\ のように考えてもよい. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 一般に2乗を外すとき,\ 正なのか負なのか両方ありえるのかを考慮する必要がある. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ \bm{a>0よりa^r>0,\ a^{-r}=\bunsuu{1}{a^r}>0より,\ 常にa^r+a^{-r}>0}である. \\[1zh] (5)\ \ x^2-y^2\,は,\ x\,→\,y,\ y\,→\,xとするとy^2-x^2=-\,(x^2-y^2)\,となり,\ 元の式と符号が逆になる. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ このような式を\bm{交代式}という.\ \bm{交代式は2乗すると対称式}となるから,\ 基本対称式で表せる. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ (x^2-y^2)^2=x^4+y^4-2x^2y^2=\{(x^2+y^2)^2-2x^2y^2\}-2x^2y^2=(x^2+y^2)^2-4x^2y^2 \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 一般に,\ \bm{a^{nr}\,とa^{-nr}\,の大小関係は定まらない.} \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 例えば,\ 8=2^3>2^{-3}=\bunsuu18,\ \ \bunsuu18=\left(\bunsuu12\right)^3<\left(\bunsuu12\right)^{-3}=8である. \\[.8zh] \phantom{(2)}\ \ よって,\ a^{nr}-a^{-nr}\,は\,\pm\,両方ありえる. \\[1zh] \phantom{(2)}\ \ 交代式には,\ \bm{必ずx-yを因数にもつ}という性質もある. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ x^2-y^2=(x+y)(x-y)と因数分解できるから,\ x-yを求めることに帰着する. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ (x-y)^2=x^2+y^2-2xy=(x-y)^2-2xy-2xy=(x-y)^2-4xy\ として求めればよい. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ もし(1)がなかったならば,\ 別解の方が速い.
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