anrとa-nrの対称式の値

symmetrical-expression
重要な$xとy$の対称式の変形としては次の2つがあった. x²+y²=(x+y)²-2xy x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y)  ここで,\ $x=a^r,\ y=a^{-r}\ としてみよう.$  特に着目すべきは,\ ${常に\ xy=a^ra^{-r=a^{r-r}=a^0=1\ である.$  ゆえに,\ a^{2r}+a^{-2r=(a^r+a^{-r})²-2} a^{3r}+a^{-3r=(a^r+a^{-r})³-3(a^r+a^{-r})}  結局,\ ${a^{nr}+a^{-nr\ は,\ a^r+a^{-r}\ のみで表されるのである.$ ,\ は,\ 基本的な対称式の変形を行えばよい. は,\ 2乗するとの形が出てくることに着目して変形していけばよい. a+a^{-1}=(a^{1/2}+a^{-1/2})²-2\ のように考えてもよい. 2乗を外すときは,\ 正であることを明記すること. {常により,\ 常にa}である.
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