対数不等式2パターン

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対数方程式と同様,\ 大まかには2パターンである.\ どちらにせよ,\ 最初に以下を行う. \\[1zh]   真数条件($\bm{真数>0}$)と底の条件($\bm{底>0,\ 底\neqq1}$)}}を確認する. \\[.5zh]   \maru2\ \ 異なる底の対数が混在する場合,\ \textbf{\textcolor{red}{底を統一}}する. \\\\  その後は,\ 以下の2大パターンのいずれかである. \\[1zh]  両辺を1つの対数にまとめ}},\ 次の関係を用いる. \\[.3zh] log_ax=X\ と置換}}すると,\ 簡単な方程式に帰着する.$ \\\\  とにかく,\ \textbf{\textcolor{red}{底が1より小さいとき,\ $\bm{\log}$をはずすと不等号の向きが逆になる}}ことに注意する. 底の変換公式\\[.2zh]  $y=\log_ax$は,\ $a>1$のとき単調増加関数だが,\ \textcolor{red}{$00より-10+7x-x^2>0なのでその心配はないが,\ 変なリスクは少ない方がよい. \\[.2zh] 結果が正しくても,\ 採点官に分母をはらうときに(分母)>0を意識していたのかを疑われかねない. \\[.2zh] よって,\ \bm{係数が-の項は移項して正にしてからまとめる}べきである. \log_aM+\log_aN=\log_aMN \\[1zh] \bm{両辺の\log をはずすとき,\ 底が1より大きいか小さいかを必ず確認する.} \\[.2zh] 最後,\ \bm{真数条件との共通範囲を求める.} x^2>0\ \Longleftrightarrow\ x>0\bm{ではない}ので注意.\ \ x^2>0はx\neqq0,\ つまりx=0以外の全ての実数である. \\[.2zh] x>0かつx\neqq0より,\ 結局x>0となる. \\[1zh] \log 全体の2乗\ (\log_{\frac13}x)^2\,がある時点で,\ \log_aX=\log_aYの形に変形することはできない. \\[.4zh] \log_ax=Xと置換するため,\ \log_aMN=\log_aM+\log_aN,\ \log_aM^r=r\log_aMを用いて分解する. \\[.2zh] 置換して3X^2-2X-1\leqq0とできるが,\ 実際にはこの程度は置換せずに計算すると速い. \\[.2zh] 最後,\ \bm{底が1より小さいので,\ \log をはずした時点で大小関係が逆転する.} {真数>0}\ よ 対数不等式は底にxがあると一気に複雑になるが,\ 問われているのはあくまでも基本である. \\[.2zh] まずは\bm{真数条件と底の条件を確認する.}\ すべてまとめると\maru1となる. \\[.2zh] 両辺を同じ底の対数にして\log をはずすわけだが,\ 底が1より小さい場合は不等号の向きが逆転する. \\[.2zh] よって,\ \bm{底>1と0<底<1で場合分け}をする必要が生じる. \\[1zh] \log をはずした不等式を解いた後,\ 大前提\maru1および前提\maru2との共通範囲が最終的な答えとなる. \\[1zh] log をはずした不等式を解いた後,\ 大前提\maru1および前提\maru3との共通範囲が最終的な答えとなる.  {底>0,\ 底\neqq1}\ より x>0,\ x\neqq1$ まず\bm{真数条件と底の条件を確認}し,\ さらに底を3に統一する. \\[.2zh] 分母に\log_3xが現れるが,\ 安易に両辺に\log_3xを掛けて分母をはらってはならない. \\[.2zh] \bm{\log_3x<0のときは不等号の向きが逆になる}からである. \\[.2zh] \log_3x>0と\log_3x<0で\bm{場合分け}することになる.\ なお,\ x\neqq1より\log_3x\neqq0である. \\[.2zh] 本問では,\ 場合分けの時点で\log_3x>0をx>1に変換しない方がよい. \\[.2zh] xの範囲を求めてから共通範囲にするより,\ \log_3xの共通範囲を求めてからxの範囲にする方が楽. 別解は,\ 場合分けを避けるために\bm{両辺に2乗(\log_3x)^2\,を掛ける}という手法を用いるものである. \\[.2zh] 場合分けがいらない代わりに3次不等式になる. \\[.2zh] 因数分解して3次関数のグラフを考えるのが速いが,\ 数\text{I\hspace{-.1em}I}の整式の微分の知識を要する. \\[.2zh] X(X-4)(2X+3)\leqq0より,\ X軸と-\bunsuu32,\ 0,\ 4で交わる3次関数が負になる範囲である.
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