対数方程式と同様,\ 大まかには2パターンである.\ どちらにせよ,\ 最初に以下を行う.
真数条件($真数>0}$)と底の条件($底>0,\ 底≠1}$)を確認する.
②\ \ 異なる底の対数が混在する場合,\ 底を統一する.
その後は,\ 以下の2大パターンのいずれかである.
両辺を1つの対数にまとめ,\ 次の関係を用いる.
log_ax=X\ と置換すると,\ 簡単な方程式に帰着する.$
とにかく,\ 底が1より小さいとき,\ $\log}$をはずすと不等号の向きが逆になることに注意する. 底の変換公式
$y=\log_ax$は,\ $a>1$のとき単調増加関数だが,\ $00より-10+7x-x^2>0なのでその心配はないが,\ 変なリスクは少ない方がよい.
結果が正しくても,\ 採点官に分母をはらうときに(分母)>0を意識していたのかを疑われかねない.
よって,\ 係数が-の項は移項して正にしてからまとめる}べきである. \log_aM+\log_aN=\log_aMN
両辺の\log をはずすとき,\ 底が1より大きいか小さいかを必ず確認する.}
最後,\ 真数条件との共通範囲を求める.}
x^2>0\ ⇔\ x>0ではない}ので注意.\ \ x^2>0はx≠0,\ つまりx=0以外の全ての実数である.
x>0かつx≠0より,\ 結局x>0となる.
\log 全体の2乗\ (\log_{13}x)^2\,がある時点で,\ \log_aX=\log_aYの形に変形することはできない.
\log_ax=Xと置換するため,\ \log_aMN=\log_aM+\log_aN,\ \log_aM^r=r\log_aMを用いて分解する.
置換して3X^2-2X-1≦0とできるが,\ 実際にはこの程度は置換せずに計算すると速い.
最後,\ 底が1より小さいので,\ \log をはずした時点で大小関係が逆転する.}
{真数>0}\ よ
対数不等式は底にxがあると一気に複雑になるが,\ 問われているのはあくまでも基本である.
まずは真数条件と底の条件を確認する.}\ すべてまとめると①となる.
両辺を同じ底の対数にして\log をはずすわけだが,\ 底が1より小さい場合は不等号の向きが逆転する.
よって,\ 底>1と0<底<1で場合分け}をする必要が生じる.
\log をはずした不等式を解いた後,\ 大前提①および前提②との共通範囲が最終的な答えとなる.
log をはずした不等式を解いた後,\ 大前提①および前提③との共通範囲が最終的な答えとなる.
{底>0,\ 底≠1}\ より x>0,\ x≠1$
まず真数条件と底の条件を確認}し,\ さらに底を3に統一する.
分母に\log_3xが現れるが,\ 安易に両辺に\log_3xを掛けて分母をはらってはならない.
\log_3x<0のときは不等号の向きが逆になる}からである.
\log_3x>0と\log_3x<0で場合分け}することになる.\ なお,\ x≠1より\log_3x≠0である.
本問では,\ 場合分けの時点で\log_3x>0をx>1に変換しない方がよい.
xの範囲を求めてから共通範囲にするより,\ \log_3xの共通範囲を求めてからxの範囲にする方が楽.
別解は,\ 場合分けを避けるために両辺に2乗(\log_3x)^2\,を掛ける}という手法を用いるものである.
場合分けがいらない代わりに3次不等式になる.
因数分解して3次関数のグラフを考えるのが速いが,\ 数II}の整式の微分の知識を要する.
X(X-4)(2X+3)≦0より,\ X軸と-32,\ 0,\ 4で交わる3次関数が負になる範囲である.
