対数不等式2パターン

logarithmic-inequality
[センター試験]  対数不等式2パターンを確認する.  どちらのパターンにしても,\ まず次の2つを行う. 真数条件(${真数}$)と底の条件(${0,\ 底1}$)を確認する.  $$\ 異なる底が混在する場合,\ 底を統一する.  その後,\ 次の2つのどちらかのパターンに持ち込む.  1 両辺を1つの対数にまとめ,\ 次の関係を用いる.  2 ${log_ax=X\ と置換し,\ 整関数に帰着させる.$ 次に,\ 底を2に統一すると,\ 係数が-の項ができる. 特に不等式では,\ 真数部分を分数にしてまとめるのはリスキーである. よって,\ {係数が-の項は,\ 必ず移項して正にしてからまとめる.} 最後,\ {真数条件との共通範囲を求め},\ 解とする. とにかく最初に{真数条件を確認}. x²は,\ x=0以外の全ての実数. (log_{1/3}x)²がある時点で,\ {置換する方針}しかなく,\ それを目指して変形していく. log₃xを置換するためには,\ {分解する方針}で変形していくことになる. 最後,\ {底が1より小さいので,\ 大小関係が逆転する}点に注意する. {log を外し,\ 真数部分を取り出した瞬間,\ 不等号が逆向きになる.} とにかく最初に{真数条件を確認}.\ また,\ 底に変数があるので,\ {底の条件も確認}. 底を3に統一する.\ この後,\ 安易に両辺にlog₃xを掛けてはいけない. ならば,\ 不等号の向きが逆になるからである.\ {場合分けが必要}である. 場合分けを避けるため,\ {両辺に2乗(log₃x)²を掛ける}という技巧が存在する. {2乗()を掛けて場合分けを避ける手法は,\ 同値変形の強力な武器}である. しかし,\ その代わり,\ 高次不等式になる.\ 本問では3次不等式である. これは,\ 因数分解した後,\ {3次関数のグラフの概形を考慮して解く}ことになる. 交点が-32,\ 0,\ 4の3点であることから,\ 概形はすぐにわかるはずである. 後は,\ グラフが負になる部分の範囲を答えればよい. \ 場合分けを行う方法は下に示した.\ センター試験では,\ こちらの誘導がなされた.
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