指数関数の最大・最小2パターン

exponential-maxmin
置換\ a^x=X\ により,\ 簡単な方程式に帰着させる.}$   $$\ ${置換\ a^x+a^{-x}=t}\ により,\ 簡単な方程式に帰着させる.}$    この型は,\ 次の2つの重要ポイントを含む. a^xとa^{-x}の対称式}の扱い}\ (a^x+a^{-x}\ で\ a^{nx}+a^{-nx}\ を表す)$    \ ${(相加平均)(相乗平均)で定義域を求める.$ 置換することを目指して,\ 指数の定数部分を分離する. 定義域を確認する.\ {底が1より小さいので,\ 大小関係が逆転する.} 最大値はX=1のときだが,\ このときのyは,\ y=4X²-4Xに代入して求める. 平方完成した式にX=1を代入する人をよく見かけるがどう考えても面倒である. { }\ $yは,\ t=2のとき最小値2をとる.$ $ {x=0のとき 最小値\ 2}$} 対称式 tのみで表した後は,\ {相加相乗平均の関係で,\ tの定義域を求める.} 相加平均と相乗平均の関係は,,\ {a+b}{2}{ab}\ である. ほとんどの場合,\ {a+b2{ab\ の形で使用する. 相加相乗でt2がわかっても,\ 実際にtの最小値が2であるという保証はない. 仮にtの最小値が100であったとしても,\ t2がいえるからである. よって,\ {等号成立条件}を調べ,\ tが2をとりうることを確認する必要がある. 等号成立条件は,\ {a=b}より,\ 本問では{2^x=2^{-xである. 本問では,\ たまたま最小値をとるときのtが,\ 等号成立時のtの値と一致した. よって,\ そのときのxは,\ 2^x=2^{-x}から求めることができた. 一致しない場合は,\ t={2^x+2^{-x}=2}\ を解いて,\ xを求めることになる. (相加平均)(相乗平均)}から$ { }\ $等号は,のとき成立する.最小値\ 相加平均と相乗平均の関係を用いると,\ 積が一定のとき,\ 和の最小値が求まる. 本問では,\ 常に3^x 3^{-x}=1なので,\ 相加相乗で最小値が求まる.\ 微分は必要ない. y42\ だけでは,\ 最小値が42\ である保証はされない. 等号が成立して初めて最小値が42\ であるといえる.
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