指数と累乗根の大小比較3パターン

exponential-comparison
底}を統一して,\ 指数}の大小を比較する.}   $$\ 指数}を統一して,\ 底}の大小を比較する.}   $[3]$\ 指数が整数になるように何乗かして},\ それを計算して比較する.} { 底が1より小さいとき,\ 大小関係が逆転するので注意! {底を2に統一}すればよい. 指数30,\ 20,\ 10が全て10の倍数であることに着目し,\ {指数を統一}すればよい. {底を13に統一}する.\ このとき,\ と考えてもよい. より,\ 大小関係が逆転する}ことを忘れてはいけない. 別に{底を3に統一}しても全く問題はない.\ その場合を簡潔に示しておく. 底も指数もそのままでは統一できない.\ 本問は,\ 実質\ 3^{1/3},\ 5^{1/4},\ 11^{\frac16}\ の比較である. 全ての数に対し,\ {指数の分母3,\ 4,\ 6の最小公倍数である12乗}をする. これで整数乗となり,\ 容易に計算できるようになるので,\ その結果を比較する. 2^{1/2}=4^{1/4}\ に気付けば,\ の3つの比較となる. 2,\ 3,\ 5の最小公倍数である30乗をして一気に比較することもできる. しかし,\ 計算が大変そうなので,\ 上の解答では2つずつ比較した. 2回の比較で済んだが,\ 運が悪いと3回の比較が必要になる. 計算力が高い人は,\ 3回比較するより,\ 30乗した方が速い場合もあるだろう.
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