累乗と累乗根の大小比較

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次の数の大小を比較せよ.$ \\[1zh] 累乗と累乗根の大小比較}}$}} \\\\[.5zh]   $[1]$\ \ \textbf{\textcolor{cyan}{底}を統一}して,\ \textbf{\textcolor{magenta}{指数}の大小を比較}する. \\[.6zh]   $[2]$\ \ \textbf{\textcolor{magenta}{指数}を統一}して,\ \textbf{\textcolor{cyan}{底}の大小を比較}する. \\[.6zh]   $[3]$\ \ \textbf{\textcolor{red}{指数が整数になるように何乗かして},\ 直接計算して比較}する. \\\\  大小比較の際は以下の点に注意する. \\[1zh]  指数関数$y=a^x$は,\ \textcolor{forestgreen}{$a>1$のとき単調増加関数},\ \textcolor{red}{$0}}\ a^q & (\bm{\textcolor{red}{指数xが大きいほどa^x\,が小さい}}) \end{cases}$ \\\\  要は,\ \textbf{\textcolor{red}{底が1よりも小さいとき$\bm{xとa^x}$の大小関係が逆転する}}ということである. \\\\\\ \bm{底を2に統一}できる.\ なお,\ \bunsuu43\kinzi1.33,\ \ruizyoukon2\kinzi1.41,\ \bunsuu53\kinzi1.66である. \\[.6zh] 底が1より大きいか小さいかをきちんと意識していたことが採点者にわかるように記述すべきである. 指数24,\ 18,\ 12が全て6の倍数であることに着目すると,\ \bm{指数を6に統一}できる. \bm{底を\bunsuu13に統一}する.\ このとき,\ \ruizyoukon{\bunsuu{1}{81}}=\bunsuu19=\left(\bunsuu13\right)^2と考えてもよい. \\[.8zh] \bm{底\,\bunsuu13<1より,\ xとa^x\,の大小関係が逆転する}ことを忘れてはならない. \\[.8zh] もちろん,\ \bm{底を3に統一}することもできる.\ この場合は大小関係が逆転せずに済む. \\[.2zh] 底3>1\ より 3^{-2}<3^{-\frac13}<3^{-0.3}<3^0 底も指数も単純には統一できない.\ 本問は,\ 実質\ 3^{\frac13},\ 5^{\frac14},\ 11^{\frac16}\ の比較である. \\[.2zh] 3数に対し,\ \bm{指数の分母3,\ 4,\ 6の最小公倍数である12乗}をする. \\[.2zh] すると整数乗になり普通に計算できるようになるので,\ その結果を比較する. \\[.2zh] 最後,\ \bm{\underline{a>0,\ b>0\ のとき}\ \ a^n0,\ b>0を明記する. 2^{\frac12}=4^{\frac14}\ に気付けば,\ 3数2^{\frac12},\ 3^{\frac13},\ 5^{\frac15}\,の比較となる. \\[.2zh] 指数の分母2,\ 3,\ 5の最小公倍数である30乗をして,\ 3数を一気に比較することもできる. \\[.2zh] しかし,\ (2^{\frac12})^{30}=2^{15}=32768,\ (3^{\frac13})^{30}=3^{10}=59049,\ (5^{\frac15})^{30}=5^6=15625をする羽目になる. \\[.2zh] これは面倒なので,\ 解答では2数ずつ比較している. \\[.2zh] 解答は2回の比較で済んでいるが,\ どの2数の組み合わせから比較するかで3回の比較を要する.
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