対数が無理数であることの証明

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log₃5が無理数であることを示せ.$  まず,\ 有理数と無理数の定義を確認する. 有理数} {m}{n}\ (m,\ n:自然数)\ で表すことができる数} 無理数} 有理数でない実数}\ ( mn\ で表すことができない実数) 「~でない」の証明は,\ 背理法が有効である.  よって,\ 「有理数でない」の証明は,\ 「有理数である」と仮定し,\ 矛盾を導く.  0.99}{$log₃5が有理数であると仮定する}と,\ log₃5= mn\ (m,\ n:自然数)}\ とおける.$}  対数の定義を用いると  $3^{\frac mn}=5$  両辺を$n乗すると    3^m=5^n}$  $(左辺)=(3の累乗),\ (右辺)=(5の累乗)となるから,\ 矛盾}である.$ $ {log₃5は無理数である.}$}
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