\log_35が無理数であることを示せ.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $\log_315が無理数であることを示せ.$ \\ 対数が無理数であることの証明}}}} \\\\ まず,\ 有理数と無理数の定義}}を確認する. \\[1zh] 有理数} & \{m}{n}\ (m,\ nは整数,\ ただしn\neqq0)\ で表すことができる実数} \\[1zh] 無理数} & \textcolor{magenta}{有理数でない実数}\ \left(\bunsuu mn\ で表すことができない実数\right) 「～でない」の証明には背理法が有効であることが多い}}のであった. \\[.2zh] 「有理数でない」の証明は,\ 「有理数である」と仮定し,\ 矛盾を導く.}} \\\\\\ $\log_35$が有理数であると仮定する.} \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $\log_35>0より,\ \textcolor{red}{\log_35=\bunsuu mn\ (m,\ n:自然数)}\ とおける.$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ 対数の定義より \ $3^{\frac mn}=5$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ 両辺を$n乗すると \textcolor{red}{3^m=5^n}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $m,\ nは自然数より,\ \textcolor{red}{3^m\,は3の倍数,\ 5^n\,は5の倍数}となるから,\ これは\textcolor{red}{矛盾}である.$ \\[1zh] \centerline{$\therefore \bm{\log_35は無理数である.}$} \\\\[1zh] (2)\ \ \textcolor{red}{$\log_315$が有理数であると仮定する.} \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ ここで $\log_315=\log_33+\log_35=1+\log_35$\ より $\textcolor{cyan}{\log_35=\log_315-1}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $\log_315$が有理数ならば,\ \textcolor{red}{$(右辺)=\log_315-1$も有理数}である. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ ところが,\ (1)より\textcolor{red}{$(左辺)=\log_35$は無理数}であるから,\ これは\textcolor{red}{矛盾}である. \\[1zh] \centerline{$\therefore \bm{\log_315は無理数である.}$ 背理法に苦手意識をもつ学生が多いが,\ \ruizyoukon2\,が無理数であることの証明に比べればかなり容易である. \\[1zh] \bm{対数を分数で表せると仮定し,\ 両辺を累乗の形にする}だけで矛盾が生じる. \\[.2zh] 最初の仮定では,\ \bm{整数ではなく自然数で仮定する}ことが重要である. \\[.2zh] 最後の3^m\,は,\ mが負の整数になりうる場合は3の倍数とはいえないからである. \rei\ \ 3^{-1}=\bunsuu13 \\[.2zh] \log_35>\log_31=0であるから,\ 自然数m,\ nを用いておくことができる. \\[1zh] (2)も(1)と同様に3^m=15^n\,を導いてもよいが,\ 3の倍数と15の倍数なので即矛盾とはならない. \\[.2zh] 3と15が互いに素(共通の約数をもたない)ではないからである. \\[.2zh] この場合,\ 3\cdot5=15のように3の倍数が15の倍数となることもありえる. \\[.2zh] もっとも,\ 以下のようにして割と楽に矛盾を導ける. \\[.2zh] 3^m=3^n\cdot5^n\,において素因数分解の一意性より\ m=n,\ 5^n=1,\ つまりm=n=0である. \\[.2zh] これは,\ m,\ nが自然数であることと矛盾する. \\[1zh] やや回りくどいので,\ 対数の性質\log_aMN=\log_aM+\log_aNで分解し,\ (1)の結果を利用した.
