累乗の等式条件 ax=by=cz がある式の値(対数に変換)

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各辺の底を5とする対数をとる.} 対数の定義\ \bunsuu1x+\bunsuu1y\,の値を求めるには,\ 条件式から求まるx,\ yの値を代入すればよい. \\[.8zh] 条件式は指数部分にx,\ yがあるから,\ 対数をとることで指数部分のx,\ yを前に出せる. \\[.2zh] \log_aM^r=r\log_aMより,\ \log_55^x=x\log_55=xである. \\[.2zh] 各辺の同じ底をとるのが一般的で,\ これを本解とした. \\[.2zh] 実は\bm{あえて異なる底の対数を考えて対称性を生かす}ほうが簡潔に済むが,\ やや技巧的になる(別解). \\[1zh] 分解する方針を本解とした.  別解では,\ 底の変換公式\ \log_ab=\bunsuu{\log_cb}{\log_ca}\ で底を35に統一した.  \log_535=\bunsuu{\log_{35}35}{\log_{35}5}=\bunsuu{1}{\log_{35}5} \\[.8zh] \bm{\bunsuu{1}{\log_ab}=\log_ba}\ を公式として覚えておくと素早く変形でき,\ 問題の見通しもよくなる. \各辺の底を2とする対数をとる.} 一般に,\ \bm{等式の数は等号の数に等しい.} \\[.2zh] 等式2つに対して未知数は3つなので,\ x,\ y,\ zの値は定まらない. \\[.2zh] また,\ \bm{等式1つにつき1文字消去できる.} \\[.2zh] 底2で各辺の対数をとり,\ y,\ zをxで表して代入することで2文字消去してxのみの式にできる. \\[.2zh] 本解では合体させたが,\ 分解して1+\log_25-(\log_22+\log_25)=0としてもよい. \\[1zh] =kとおくことで,\ (1)の別解のように\bm{対称性を生かす}こともできる(別解). \\[.2zh] 逆数をとるとき,\ 分母が0にならないことの確認を要する. \\[.2zh] また,\ 対数\log_aMの底aは,\ a>0,\ a\neqq1でなければならない. \\[.2zh] k>0,\ k\neqq1より,\ 底をkに変換してよい.
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