対数方程式2パターン

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対数方程式には2大パターンがあるが,\ どちらにせよ,\ 最初に以下を行う. \\[1zh]   真数条件($\bm{真数>0}$)と底の条件($\bm{底>0,\ 底\neqq1}$)}}を確認する. \\[.5zh]   \maru2\ \ 異なる底の対数が混在する場合,\ 底の変換公式を用いて\textbf{\textcolor{red}{底を統一}}する. \\\\  その後は,\ 以下の2大パターンのいずれかである. \\[.5zh]   [1]\ \ \textbf{\textcolor{purple}{両辺を1つの対数にまとめ}},\ $\bm{\textcolor{red}{\log_aX=\log_aY\ \Longleftrightarrow\ X=Y}}\ を使う.$ \\[.5zh]   [2]\ \ $\bm{\textcolor{cyan}{\log_ax=X\ と置換}}すると,\ 簡単な方程式に帰着する.$ 真数>0}より x-2>0\ \ かつ\ \ x-3>0   よって\ \ とにかく最初に\bm{真数条件を確認}する.\ その後,\ 両辺をそれぞれ1つの対数にまとめる. \\[.2zh] 左辺は対数の性質\ \bm{\log_aM+\log_aN=\log_aMN}\ を適用する. \\[.2zh] 右辺は1を逆に底2の対数で表すと,\ 1=\log_22である. \\[.2zh] 右辺を\log_21とする\bm{誤り}が多いので注意!\ \log をつけることと\log の形にすることは別である. \\[.2zh] 右辺にだけ勝手に\log をつけていいはずはなく,\ 1を\log の形に変形するのである. \\[.2zh] 後は\log をはずして方程式を解き,\ 真数条件を満たすものを最終的な答えとする. \\[.2zh] 1つの対数にまとめる前に\log をはずして(x-2)+(x-3)=2とする\bm{誤り}が多いので注意! \\[1zh] また,\ 「\,\log_2(x-2)(x-3)=\log_22より,\ 真数条件は(x-2)(x-3)>0\,」とする\bm{誤り}も多い. \\[.2zh] 本問の場合,\ もし真数条件がx<2,\ 30,\ N>0)が成り立つことを前提とした法則}である. \\[.2zh] よって,\ \bm{真数条件の確認は対数の性質の適用前に行わなければならない}のである. 真数>0}\ より x+2>0\ \ かつ\ \ x^2-x-2>0$ \phantom{ (1)}\ \ 底の変換公式より \phantom{ (1)}\ \ ゆえに {真数条件を満たす})$ 最初に\bm{真数条件を確認}する さらに,\ 底を2に統一する.\ \log_2\bunsuu14=-\,2である. \\[.6zh] このまま対数の性質\log_aM-\log_aN=\log_a\bunsuu MN,\ \ r\log_aM=\log_aM^r\,で左辺をまとめてみる. \ 分数係数や負の項がある場合,\ 無理にまとめると根号や分数が現れて複雑になる. \\[.2zh] そこで,\ \bm{分母をはらい,\ さらに負の項を移項により正の項にしてからまとめる}のがよい. 真数>0}\ より真数条件と底の条件}を満たすのは\ 真数条件はもちろん,\ 底にxがあるので底の条件も確認する必要がある. \\[.2zh] 真数条件は3次不等式となるが,\ 因数分解できないので事実上高校範囲で解くことはできない. \\[.2zh] このため,\ 「真数条件を求めることができない」と考えて行き詰まる学生が多い. \\[.2zh] しかし,\ 本問に限らず,\ \bm{対数方程式では真数条件をxについて解く必要がそもそもない.} \\[.2zh] (2)では真数条件をわざわざ-20とx^2-x-2>0に代入してみることでも確認できる. \\[.6zh] 教科書や問題集では真数条件がxについて解いてあることが多いが,\ 実はその必要はないのである. \\[1zh] 左辺に合わせて右辺を\log_{x-1}の形にする. \\[.2zh] 底にxがあると途端に\log に変換できなくなる人が多いが,\ 3=\log_22^3=\log_28と同様である. \\[1zh] 最後,\ x=0,\ 3のうち真数条件と底の条件を満たすものを最終的な答えとする. \\[.2zh] f(x)=x^3-2x^2-1とおくと,\ f(0)=-\,1<0,\ f(3)=8>0より,\ x=3だけが真数条件を満たす. 真数>0}\ より\ 最初に\bm{真数条件と底の条件を確認する}. \\[.2zh] 底を2に統一すると,\ \log_24x-\bunsuu{6}{\log_2x}=1となる. \\[.8zh] 両辺をそれぞれ1つの\log の形\,\log_aX=\log_aY\ に変形することはできそうにない. \\[.2zh] そこで,\ \bm{\log_axを置換する型に持ち込む}ことを考える. \\[.2zh] そのためには,\ \log_aMN=\log_aM+\log_aNを用いて\log_4xを分解すればよい. \\[.2zh] さらに分母をはらうと,\ \log_2xが置換できる形になる. \\[.2zh] \log_2x=XとおいてX^2+X-6=0としてもよいが,\ この程度ならば置換せずにやると速い. \\[.2zh] 常にa^x=X>0だったのとは異なり,\ \bm{\log_ax=Xは全ての実数値をとりうる.} \\[.2zh] 真数>0}より {x>0}$のとき$2^{x^2\log_8x}>0,\ \ x\ruizyoukon x>0$であるから,\ $\textcolor{red}{両辺の2を底とする対数}をとる. 対数があるのでまずは\bm{真数条件を確認}する. \\[.2zh] 本問に限らず,\ \bm{指数部分が鬱陶しい場合,\ 両辺の対数をとる}ことが基本になる. \\[.2zh] 対数の性質\log_aM^r=r\log_aMにより,\ 鬱陶しい指数を前に出せるようになるからである. \\[.2zh] ただし,\ \bm{真数になる各辺が正であることを確認した上で対数をとる}必要があることに注意する. \\[.2zh] 本問の場合,\ 真数条件からx>0で,\ このとき左辺も右辺も正となる. \\[.2zh] 底はできる限り小さい素数にするのが基本で,\ 与式に2,\ 8があるので2を底とする対数をとった. \ 置換するまでもないが,\ \log_2x=Xとすると\ \bunsuu13x^2X=\bunsuu32X\ となる. \\[.8zh] ここで,\ 安易に両辺を\log_2xで割ってはならない.\ \log_2x=0の可能性があるからである. \\[.2zh] 一方の辺に集めて因数分解するとAB=0の形になるので,\ A=0\ または\ B=0とできる. \\[.2zh]
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