常用対数の利用① 累乗の桁数と一の位の数字と最高位の数字

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8^{44}\,の一の位の数字,\ 桁数,\ 最高位の数字を求めよ.$ \\ 桁数と最高位の数字}}}} \\\\   $8,\ 8^2,\ 8^3,\ 8^4,\ 8^5,\ \cdots\cdots$の一の位の数字は $8\ \ 4\ \ 2\ \ 6\ |\ 8\ \ 4\ \ 2\ \ 6\ |\ 8\ \cdots\cdots$ \\[.5zh]   一の位の数字は\textcolor{red}{周期4で循環}し,\ 44は4の倍数なので,\ $8^{44}$は1周期の最後の数である. \ \ \bm{一の位の数字は 6}$ 一の位の数字は容易に求められる.\ \bm{累乗の一の位の数字は必ず循環する}からである. \\[.2zh] 順に書き出して循環周期を確認し,\ 与えられた数が1周期の何番目に位置するかを考えれば済む. \\[1zh] 以下のようにして,\ 周期4で循環することを数式で明確に示すこともできる. \\[.2zh]  \bm{8^{n+4}-8^n}=8^n\cdot8^4-8^n=8^n(8^4-1)=8^n\cdot4095=(偶数)\cdot(5の倍数)=\bm{(10の倍数)} \\[1zh] 整数問題としてとらえると,\ 一の位の数字とは10で割ったときの余りである. \\[.2zh] ここで,\ \bm{(10で割ったときの余りが等しい)=(差が10で割り切れる)}と言い換えられるのであった. \\[.2zh] a=10q_1+r,\ b=10q_2+rのとき,\ a-b=10(q_1-q_2)=(10の倍数)だからである. \\[.2zh] ただし,\ 8^5-8,\ 8^6-8^2,\ \cdots\cdots\ が10の倍数であることを1つずつ示しても永遠に終わらない. \\[.2zh] 文字を用いて一般化し,\ 8^{n+4}-8^n=(10の倍数)を示すことになる. }{桁数}}の求め方を確認する.\ まず,\ 自然数を1から並べ,\ 桁数がどう変わるかをみてみよう. {桁数は,\ $10^{\textcolor{red}{2}}\,(=100)\,になった瞬間\textcolor{red}{3}桁に,\ 10^{\textcolor{red}{3}}\,(=1000)$になった瞬間\textcolor{red}{4}桁に増える.}}} \\[.2zh]  よって,\ $10^2\leqq N<10^3\,を満たすとき,\ その数N$は3桁である. \\[.2zh]  例えば,\ $10^{2.8}$は整数ではないが,\ 100以上1000未満の数なので,\ 整数部分は3桁である. \\[.2zh]  結局,\ $\bm{\textcolor{red}{桁数を求めることは,\ その数が10の何乗であるかを求めること}}に帰着する.$ \\[1zh]  そして,\ ある数$N$が10の何乗であるかは,\ 以下のようにして求められる. \\[.2zh]  対数の定義は    \ \ \ $a^p=N\ \Longleftrightarrow\ p=\log_aN$ \\[.2zh]  $a=10とすると   10^p=N\ \Longleftrightarrow\ p=\log_{10}N$ \\[.5zh]  よって,\ $\bm{\textcolor{purple}{p=\log_{10}Nを求めると,\ Nを10^p\,の形で表せる}}ことになる.$ \\\\  なお,\ \textbf{10を底とする対数}を\textbf{\textcolor{blue}{常用対数}}という. \\[.2zh]  10進法では10を底とすると桁数などの特別な意味をもつので,\ これが\.{常}に\.{用}いられた. \\\\\\ m{8^{44}\,の桁数は\ \ 40桁} 通常,\ 問題で与えられるのは\log_{10}2と\log_{10}3の値だけである. \\[.2zh] そして,\ この2つさえあれば,\ \log_{10}1から\log_{10}10までの値が\log_{10}7を除いて求められる. \\[.2zh] \log_{10}8は,\ 対数の性質\log_aM^r=r\log_aMを用いることで\log_{10}2で表される. \\[1zh] 10^{39}
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