対数関数の最大と最小5パターン(置換型・相加相乗型など)

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本項では,\ 5パターンの対数関数の最大最小問題を取り扱う. \\[.2zh]  おおよそだが,\ (1)から重要度・頻出度が高い順になっている. とりあえずできることは,\ \log_a\bunsuu MN=\log_aM-\log_aNを用いた分解くらいしかない. \\[.6zh] 真数>0を確認した上で分解し,\ さらに展開して\bm{\log_ax=Xと置換する}と簡単な関数に帰着する. \\[.2zh] 対数関数の最大最小の中で重要度\text{No.1}の型である. \\[1zh] 置換したときは,\ \bm{置換後の文字のとりうる値の範囲を確認}しなければならない. \\[.2zh] 結局,\ 0\leqq X\leqq2の範囲で2次関数y=-\,X^2+5X-6の最大最小を求めることに帰着する. \\[.2zh] 最大最小をとるときのxの値は,\ 問題で指定されていなくても可能な限り求めておくことを推奨する. \\[.2zh] 実は必要だったという場合もありえるし,\ 問題の条件を満たすかを確認できるので検算効果もある. 本問は,\ \bm{合体して1つの対数にできる型}である. \\[.2zh] \bm{真数条件を確認},\ \bm{底を統一},\ さらに\log_aM+\log_aN=\log_aMNを適用する. \\[.2zh] 1つの対数にできれば,\ 後は\bm{真数の最大最小}に帰着する. \\[.2zh] ここで,\ 0\log_aY\ であった. \\[.2zh] よって,\ \bm{\log_aMの最小を求めることは,\ 真数Mの最大を求めること}である. \\[.2zh] 真数(5-x)(x-4)は上に凸の2次関数で,\ 41より自動的に真数>0,\ 底>0,\ 底\neqq1を満たす. \\[.2zh] 2,\ 4,\ 512があるので,\ 底を2に統一する. \\[.2zh] \bm{X+\bunsuu aX\,の形}が現れるが,\ これの最小は\bm{相加平均と相乗平均の関係}で求められるのであった. \\[.6zh] 一般に,\ \bm{積が一定である和の最小}を求める場合に相加相乗が有効である. \\[.2zh]  \bm{a>0,\ b>0のとき a+b\geqq2\ruizyoukon{ab} (a=bのとき等号成立)} \\[.2zh] 必ず前提条件a>0,\ b>0を確認した上で公式を適用する.\ \ x>1より\log_2x>0である. \\[.2zh] y\geqq6が導かれるが,\ 直ちに最小値6と結論づけてはならない.\ \bm{等号成立条件を確認}する. \\[.2zh] 6以上は最小値6をも意味するわけではない.\ 仮に最小値7でもそれは6以上である. \\[.2zh] \bm{等号を成立させるような実数xが存在して初めて最小値6が確定する}のである. \\[.2zh] とにかく最初に\bm{真数条件を確認する.} \\[.2zh] \bm{x,\ yとと\log_ax,\ \log_ayが混在しているので,\ 一方に統一する.} \\[.2zh] \log_2(x^2+y^2)としても行き詰まるので,\ \bm{\log_2x+\log_2y=3を\log を使わずに表す}ことを考える. \\[.2zh] \log_aM+\log_aN=\log_aMNを用いて両辺を1つの対数にした後,\ \log をはずせばよい. \\[.2zh] 結局,\ 条件x>0,\ y>0,\ xy=8の下でx^2+y^2\,の最小を求める問題に帰着する. \\[.2zh] y=\bunsuu4x\,として\bm{一文字消去}するとX+\bunsuu aX\,の形が現れる. \\[.8zh] よって,\ 相加平均と相乗平均の関係を用いて最小値を求めることができる.
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