対数関数の最大・最小4パターン

logarithm-maxmin
対数を1つにまとめて},\ 真数部分の最大・最小を考える.$   \ ${log_ax=X}\ と置換し,\ 整関数に帰着させる.}$   \ ${多項式条件を対数表現に変換する.$   \ ${対数条件を多項式表現に変換する.$   よって,\ yの最小値を求めるために,\ {真数部分の最大値を求める}ことになる. 上に凸の2次関数で,\ 頂点(92,\ 14)が4にあるから,\ これが最大である. まとめれそうにないので,\ {分解する方向で変形し,\ 置換する}と2次関数に帰着. {Xの定義域}は,\ 通常全ての実数だが,\ 本問は1 x9があるので確認が要る. {多項式と対数が混在している場合,\ 一方に統一する.} (log₂x)(log₂y)はどうにもならないので,\ {x²y=8を対数に変換}する. 置換するとき,\ {定義域の確認}を忘れない. 結局,\ X1,\ Y0,\ 2X+Y=3\ の下で,\ XYの最大・最小を求める問題に帰着. {等式条件が1つある2変数関数の最大・最小は,\ 1文字消去法が有効である.} 本問は,\ Yの消去が楽だが,\ このとき,\ {Y0もXの条件に変換する}必要がある. 結局,\ X1,\ Y0は,\ 1 X32\ となる.\ 極めて忘れやすいので注意しよう. $ x²+y²\ の{最小値\ 16}$} とにかく最初に{真数条件を確認}. {多項式と対数が混在している場合,\ 一方に統一する.} x²+y²\ を対数にしてもどうしようもないので,\ {対数条件を多項式に変換する}. 結局, xy=8の下で,\ x²+y²の最小を求める問題に帰着する. {一文字消去}を行うと,\ {○+{1}{○\ という形が現れる. この形の最小は,\ {相加相乗平均を用いて求める頻出パターン}である. \等号成立は\ a=b\ のとき) 一般に,\ {積が一定である和の最小}を求める場合,\ 相加相乗が有効である. x²+{64}{x²}16\ より,\ 直ちに最小値16としてはいけない.\ {等号成立の確認}が要る. 16以上は,\ 最小値16をも意味するわけではない.\ 最小値100でも16以上である. 等号が成立するようなxが存在して初めて,\ 最小値16が確定する.
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