混同しやすい指数法則とその指数法則が成立する理由

exponential-law
 $混同したときは,\ m=3,\ n=2として具体的に考えてみる.$  $本来,\ {a³はaを3個掛けたものという認識があれば自明な法則である.$ ${a³ a²=a^{3+2=a⁵}  a³ a²=aaa aa=a⁵$\ $(a3個とa2個でa5個)$} ${(a³)²=a^{32=a^6}   (a³)²=(aaa)(aaa)=a^6$ $(a3個が2つでa6個)$}  { ${混同しやすい指数法則\ 2$} $ a=4,\ n=2の例を見ると$     4^{1/2}=4=2}$}  ところで,\ 何故\ {2}\ のような法則が成り立つのだろうか.  数学は自然な拡張を行うことで発達してきた.  自然数のとき,\ {1}\ の規則は自明であろう.  よって,\ $1}\ が成立するようにa^{-n}とa^{\frac1n}を定義するのが自然である$.  $まず,\ {a^0をが成立するように定義する.$  $これは,\ {a^0=1と定義するとよいことを示唆している.$  $次に,\ {a^{-n}をが成立するように定義する.$  $これは,\ {a^{-n}={1}{a^n}と定義するとよいことを示唆している.$  $さらに,\ {a^{\frac1n}をが成立するように定義する.$  $これは,\ {a^{\frac1n}=[n]{a}と定義するとよいことを示唆している.$
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