対数の大小比較

logarithm-comparison
基本は,\ 「底をそろえて真数部分で比較する」である.  底が1より小さい場合,\ 大小関係が逆転する点に注意する.  {底が異なる場合,\ 最初に${-1}$,\ 0,\ 1を基準に分類する手法も重要である.  これらは,\ 一見して判断できることが多いからである. 底aが4である場合,\ 真数部分Mが,\ 14,\ 1,\ 4より大きいか小さいかをみる. 底aが3である場合,\ 真数部分Mが,\ 13,\ 1,\ 3より大きいか小さいかをみる. この3数が,\ 対数が-1,\ 0,\ 1となる境目だからである. これを利用すると,\ 例えば\ log₄5とlog₃2の比較は,\ 底を統一する必要はない. 底aが14である場合,\ 真数部分Mが,\ 4,\ 1,\ 14より大きいか小さいかをみる. 底aが13である場合,\ 真数部分Mが,\ 3,\ 1,\ 13より大きいか小さいかをみる. この3数が,\ 対数が-1,\ 0,\ 1となる境目だからである. これを利用すると,\ 例えば\ log_{1/4}5とlog_{1/3}2の比較は,\ 底を統一する必要はない. より,\ 後は\ log₂3と32を比較すればよい.$ まず,\ {-1,\ 0,\ 1を基準に分類する}ことを考える. 底14では,\ 4,\ 1,\ 14,\ 底3では,\ 13,\ 1,\ 3,\ 底2では,\ 12,\ 1,\ 2が基準となる. 一見して判断できるので,\ 後はそれを簡潔に示しておけばよい. わざわざ底を2に統一して考える必要はない. 底2の対数に変換}し,\ 真数部分で比較する. log₄6とlog_89を比較}するため,\ 底を2に変換する.$ { }\ $6^{1/2}\ と9^{1/3}\ を比較する.$ { }\ $log_64とlog_98を比較}するため,\ 底を2に変換する.$ が気付けるだろう. これを簡潔に示しておけば,\ 後は2つずつ比較するだけである. log₄6とlog_89は,\ 底を2で統一すると,\ 真数部分の比較になる. 6^{1/2}と9^{1/3}は,\ {指数の比較問題}と考える必要がある. {指数が整数になるように,\ 両方を6乗して比較する.} log_64とlog_98は,\ 底6,\ 9ではなく,\ {真数部分4,\ 8が2の累乗}であることに着目. 真数に着目した場合,\ {分子が1になるように変形し,\ 分母で大小を比較する.} 本問では,\ すでに分母の大小関係が判明しているため,\ 楽である.
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