対数関数y=logaxのグラフ

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a>0,\ a\neqq1とする.\ ここで,\ 指数関数y=a^x\ (値域:y>0)のxとyを入れ替えてみる.$ \\[.5zh] \centerline{{\large $x=a^y$} $(定義域:x>0)$} \\[.5zh] $ 対数の定義\ a^p=M\ \Longleftrightarrow\ p=\log_aM$\ より \\[.5zh] \centerline{{\large $y=\log_ax$} $(定義域:x>0)$} \\[.5zh] $ つまり,\ \bm{\textcolor{red}{指数関数y=a^xと対数関数y=\log_axは,\ xとyを入れ替えた関係にある.}}$ \\\\ $ このような関係にある関数を\textbf{\textcolor{blue}{逆関数}}という(数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}).$ \\\\  そして,\ \textbf{\textcolor{red}{逆関数の関係にある関数のグラフは,\ 互いに直線$\bm{y=x}$に関して対称}}になる. \\[.2zh]  $x$と$y$を入れ替えることは,\ 図形的には直線$y=x$に関して対称移動するということである. \\[.2zh]  \scalebox{.96}[1]{例えば,\ $y=a^x\,(a>1)$上の点(0,\ 1),\ (1,\ $a$)は,\ $y=x$に関する対称移動で(1,\ 0),\ ($a$,\ 1)に移る.} \\[.2zh]  以上の認識があれば,\ 指数関数$y=a^x$と対数関数$y=\log_ax$のグラフの概形が覚えやすい. \\ 対数関数$\bm{y=\log_ax}$のグラフの特徴}} \\[1zh]   [1]\ \ 定義域は$\bm{\textcolor{red}{x>0}}$, 値域は実数全体. \\[.6zh]   [2]\ \ $\bm{\textcolor{red}{a>1のとき単調増加関数,\ のとき単調減少関数}}$である. \\[.6zh]=””   [3]\=”” \=”” 必ず$\bm{\textcolor{red}{(1,\=”” 0)}}$を通り,\=”” $\bm{\textcolor{red}{y軸が漸近線}}$となる.=””   [4]\=”” $y=”\log_ax\” (a=””>1)$と$y=\log_ax\$のグラフは互いに$\bm{\textcolor{red}{x軸に関して対称}}$. \\\\=””  以下と対比して確認しておくのがよい.=”” \\[2zh]=””  \textbf{\textcolor{blue}{指数関数$\bm{y=”a^x}$のグラフの特徴}}” \\[1zh]=””   [1]\=”” \=”” 定義域は実数全体, 値域は$\bm{\textcolor{red}{y=””>0}}$. \\[.6zh]   [2]\ \ $\bm{\textcolor{red}{a>1のとき単調増加関数,\ のとき単調減少関数}}$である. \\[.6zh]=””   [3]\=”” \=”” 必ず$\bm{\textcolor{red}{(0,\=”” 1)}}$を通り,\=”” $\bm{\textcolor{red}{x軸が漸近線}}$となる.=””   [4]\=”” $y=”a^x\” (a=””>1)$と$y=a^x\ $のグラフは互いに$\bm{\textcolor{red}{y軸に関して対称}}$. \\\\=”” 次の関数のグラフを描き,\=”” $y=”\log_2x$のグラフとの位置関係を調べよ.” \\[1zh]=”” \hspace{.5zw}\=”” (1)\=”” \=”” x4$ (3)\=”” \\=”” $\bm{\textcolor{blue}{y=”f(-\,x)}}$” &=”” \\[.2zh]=”” $\bm{\textcolor{blue}{-\,y=”f(x)}}$” $\bm{\textcolor{blue}{y-q=”f(x-p)}}$ ” $\bm{y}$軸方向に$\bm{q}$平行移動}}したもの.=”” \end{tabular}=”” \\\\\\=””  (1)\=”” \\[.5zh]=”” \phantom{ (1)}\=””  (2)\=”” x4=”\bunsuu{\log_2\bunsuu” x4}{\log_2\bunsuu12}=”\bunsuu{\log_2x-\log_24}{-\,1}=\textcolor{red}{-\,\log_2x+2}$”  (3)\=”” y軸方向に1平行移動したもの.}$=””  (4)\=”” 最悪,\=”” いくつかの点をとって結べばグラフが描けるが,\=”” それは本質的な方法ではない.=”” 何よりも,\=”” y=”\log_2xのグラフとの位置関係を明確に答えることができない.” 最初に\bm{数式的観点でy=”\log_2xのグラフとの位置関係を調べてから図示する}のが本質的である.” 要は対称移動と平行移動を調べることになるが,\=”” その方法は数\text=”” iで学習した通りである.=”” ただし,\=”” 対数関数の場合,\=”” 最初に対数の性質を用いて分解する必要があることが多い.=”” 対数の性質\bm{\log_a\bunsuu=”” mn=”\log_aM-\log_aN}を用いて分解する.” \\[.6zh]=”” \phantom{(1)}\=”” -\,y=”\log_2xとみなすとy=\log_2xにおいてy\,→\,-\,yとしたものである.” よって,\=”” x軸対称である.\=”” ちなみに,\=”” \\[1.4zh]=”” y軸が漸近線となることと(1,\=”” 0),\=”” (a,\=”” 1)を通ることが重要.=”” (2,\=”” 1)を通るから,\,y=”-\,\log_2xは(1,\” -\,1)を通る.\,漸近線は同じ.=”” (2)\=”” まず,\=”” 底の変換公式\bm{\log_ab=”\bunsuu{\log_cb}{\log_ca}}\” を用いて底を2に変換する.=”” \\[.8zh]=”” -\,(y-2)=”\log_2xとみなせる.” これは,\=”” 実は,\=”” (1)のy=”-\,\log_2xをy方向に+2と考える方が速い.” 1)を通るから,\=”” 2),\=”” 1)に移る.=”” \bunsuu=”” つまりx=”4のときy=\log_{1/2}\bunsuu” (4,\=”” 0)を通ることもすぐにわかる.=”” 必須ではないが,\=”” 軸との交点も簡単に求まる場合はとっておきたい.=”” (3)\=”” それはy=”\log_22(x-4)のことであり,\” 本問のy=”\log_2(2x-4)とは別物である.” 対数の性質\=”” \bm{\log_amn=”\log_aM+\log_aN}を用いて分解する.” y-1=”\log_2(x-2)とみなせる.\,y=\log_2xにおいてx\,→\,x-2,\” y\,→\,y-1としたものである.=”” 漸近線がy軸(x=”0)で,\” (1,\=”” 1)を通る.=”” 漸近線がx=”2で,\” (3,\=”” 1),\=”” 2)を通る.=”” 2x-4=”1,\” \left(\bunsuu52,\=”” 0\right)を通る.=”” (4)\=”” (-\,1,\=”” (-\,2,\=”” ゆえに,\=”” (0,\=”” <=”” div=””>$のグラフは互いに$\bm{\textcolor{red}{y軸に関して対称のとき単調減少関数}}$である.>
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