対数の性質は当然覚えているだろうが、証明せよと突然言われると難しいだろう。入試でこの証明が出題されたこともあるので、確認しておいて欲しい。

logarithm-property

検索用コード
$\log_aMN=\log_aM+\log_aN\ が成り立つことを示せ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} (2)\ $\log_aM^k=k\log_aM\ が成り立つことを示せ.$ \\\\ \hspace{.5zw}$a,\ b,\ cは正数,\ a\neqq1,\ c\neqq1とする.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} (3)\ $\log_ab=\bunsuu{\log_cb}{\log_ca}\ が成り立つことを示せ.$ \\  もともと,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{対数の性質は,\ 指数法則から導かれたもの}}である. \\  証明は,\ \textbf{\textcolor{red}{対数を文字でおき,\ 指数形にして指数法則を用いた後,\ 対数に戻す.}} \\\\\\ \phantom{ (1)}\ 底$aで両辺の対数をとると \textcolor{red}{\log_aMN=p+q}=\log_aM+\log_aN$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ よって $\bm{\log_aMN=\log_aM+\log_aN}$ が成り立つ. \\\\\\  (2)\ $\textcolor{cyan}{\log_aM=p}\ とおくと \textcolor{red}{M=a^p}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ $両辺をk乗すると M^k=(a^p)^k=a^{pk} より \textcolor{red}{M^k=a^{pk}}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ 底$aで両辺の対数をとると \textcolor{red}{\log_aM^k=pk}=\log_aM\cdot k$ \\[.2zh]  (3)\ $\textcolor{cyan}{\log_ab=p}\ とおくと \textcolor{red}{b=a^p}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ 底$c$で両辺の対数をとると $\textcolor{red}{\log_cb=\log_ca^p}=p\log_ca$ {\small $[\textcolor{brown}{(2)の性質を適用}]$} \ \phantom{ (1)}\ $b=a^p,\ a=c^q より b=a^p=(c^q)^p=c^{\textcolor{red}{qp}}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ 一方 $b=c^{\textcolor{red}{r}} であるから \textcolor{red}{qp=r} が成り立つ.$ \\\\\\ \centerline{{\normalsize $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} (1)は,\ 指数法則\ a^p\times a^q=a^{p+q}\ から導かれる. \\ (2)は,\ 指数法則\ (a^p)^q=a^{pq}\ から導かれる. \\ ちなみに,\ \bunsuu{a^p}{a^q}=a^{p-q}\ から,\ \log_a\bunsuu MN=\log_aM-\log_aN\ が導かれる