対数logabが無理数であることの証明

スポンサーリンク
\log_35が無理数であることを示せ.$ (2)\ \ $\log_315が無理数であることを示せ.$ \\ 対数が無理数であることの証明  まず,\ 有理数と無理数の定義を確認する. 有理数} & \{m}{n}\ (m,\ nは整数,\ ただしn≠0)\ で表すことができる実数} 無理数} & 有理数でない実数}\ mn\ で表すことができない実数 「~でない」の証明には背理法が有効であることが多いのであった.  「有理数でない」の証明は,\ 「有理数である」と仮定し,\ 矛盾を導く. $\log_35$が有理数であると仮定する.} $\log_35>0より,\ \log_35= mn\ (m,\ n:自然数)}\ とおける.$ 対数の定義より    \ $3^{ mn}=5$ 両辺を$n乗すると   3^m=5^n}$ $m,\ nは自然数より,\ 3^m\,は3の倍数,\ 5^n\,は5の倍数}となるから,\ これは矛盾}である.$ ∴ \log_35は無理数である.}$} \\  (2)\ \ $\log_315$が有理数であると仮定する.} ここで $\log_315=\log_33+\log_35=1+\log_35$\ より $\log_35=\log_315-1}$ $\log_315$が有理数ならば,\ $(右辺)=\log_315-1$も有理数}である. ところが,\ (1)より$(左辺)=\log_35$は無理数}であるから,\ これは矛盾}である. ∴ \log_315は無理数である.}$ 背理法に苦手意識をもつ学生が多いが,\ √2\,が無理数であることの証明に比べればかなり容易である. 対数を分数で表せると仮定し,\ 両辺を累乗の形にする}だけで矛盾が生じる. 最初の仮定では,\ 整数ではなく自然数で仮定する}ことが重要である. 最後の3^m\,は,\ mが負の整数になりうる場合は3の倍数とはいえないからである.  \rei\ \ 3^{-1}=13 \log_35>\log_31=0であるから,\ 自然数m,\ nを用いておくことができる. (2)も(1)と同様に3^m=15^n\,を導いてもよいが,\ 3の倍数と15の倍数なので即矛盾とはならない. 3と15が互いに素(共通の約数をもたない)ではないからである. この場合,\ 3・5=15のように3の倍数が15の倍数となることもありえる. もっとも,\ 以下のようにして割と楽に矛盾を導ける. 3^m=3^n・5^n\,において素因数分解の一意性より\ m=n,\ 5^n=1,\ つまりm=n=0である. これは,\ m,\ nが自然数であることと矛盾する. やや回りくどいので,\ 対数の性質\log_aMN=\log_aM+\log_aNで分解し,\ (1)の結果を利用した.