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180\Deg$とする.\ $2\sin\theta+2\cos\theta=1$のとき,\ $\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta$の値を求めよ. \\
解けない三角方程式から三角比の値}}}} \\\\[.5zh] 本問の等式を満たす$\theta$は綺麗な角ではないので,\ 求めることはできない. \\[.2zh] しかし,\ $\sin\theta$と$\cos\theta$の等式があれば,\ $\theta$が求まらなくても三角比の値ならば求められる. \\[.2zh] $\sin\theta$と$\cos\theta$の間には,\ 常に$\bm{\textcolor{red}{\sin^2\theta+\cos^2\theta=1}}$の関係が成り立つからである. \\\\\\
単純な問題だが盲点となるので,\ たまに問われるとできない学生がかなり多い. \\[.2zh] 要は,\ \bm{2\sin\theta+2\cos\theta=1と\,\sin^2\theta+\cos^2\theta=1の連立方程式}である. \\[.2zh] \bm{代入法}によって解くことになるが,\ \sin\theta\,と\,\cos\theta\,のどちらを残すかで後の思考量にわずかに差が出る. \\[.2zh] 今0\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg\,であるから,\ 0\leqq\sin\theta\leqq1,\ -\,1\leqq\cos\theta\leqq1である. \\[.2zh] ここで,\ 単位円による定義より,\ いかなる\,\theta\,の値に対しても-1\leqq\sin\theta\leqq1,\ -\,1\leqq\cos\theta\leqq1である. \\[.2zh] よって,\ 0\leqq\sin\theta\leqq1を満たす\,\sin\theta\,に対応する\,\cos\theta\ (-\,1\leqq\cos\theta\leqq1)は必ず存在する. \\[.2zh] 一方で,\ -\,1\leqq\cos\theta\leqq1を満たす\cos\theta\,に対応する\,\sin\theta\ (0\leqq\sin\theta\leqq1)が存在するとは限らない. \\[.2zh] -\,1\leqq\sin\theta<0となるかもしれないからである. \\[.2zh] \cos\theta\,を先に求めると,\ \sin\theta\ (0\leqq\sin\theta\leqq1)が存在するかを後から確認する必要が生じる. \\[.2zh] 実際,\ 本問で\,\cos\theta\,を残すと,\ \cos\theta=\bunsuu{1\pm\ruizyoukon7}{4}\ となり,\ いずれも-\,1\leqq\cos\theta\leqq1を満たす. \\[.6zh] しかし,\ \cos\theta=\bunsuu{1+\ruizyoukon7}{4}\ のとき\ \sin\theta=\bunsuu12-\cos\theta=\bunsuu{1-\ruizyoukon7}{4}<0となるから不適である. \\[.8zh] 先に\,\sin\theta\,を求め,\ \cos\theta\,を求める前に\,0\leqq\sin\theta\leqq1を満たす\,\sin\theta\,に絞っておくのがよいわけである. \\[1zh] 数\text{I\hspace{-.1em}I}の三角関数でも扱うが,\ 下図のような図形的な意味があるので確認しておいてほしい. \\[.2zh] 単位円を用いた定義より,\ \sin\theta,\ \cos\theta\,は座標平面上におけるy,\ xに対応するのであった. \\[.2zh] よって,\ \bm{2y+2x=1とy^2+x^2=1の交点のx座標が\,\cos\theta,\ y座標が\,\sin\theta}\,である. \\[.2zh] 2x+2y=1は直線の方程式,\ x^2+y^2=1は中心原点,\ 半径1の円の方程式である. \\[.2zh] また,\ \tan\theta\,は原点と点(\cos\theta,\ \sin\theta)を通る直線の傾きに等しいのであった. \\[.2zh] なお,\ 0\leqq\sin\theta\leqq1として除外した\,\sin\theta=\bunsuu{1-\ruizyoukon7}{4}\,は,\ 直線と円の下半分の交点に対応する.