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\,の対称式と交代式}}}} \\\\[.5zh]  本問は,\ 単に2乗して扱えばよいとだけ覚えている学生が多い. \\[.2zh]  しかし,\ 応用性を考えると,\ 対称式・交代式の認識が不可欠である. \\[.2zh]  ここで,\ 対称式・交代式(数と式分野で学習済み)の基本事項を再確認する. \\[1zh]  \textbf{\textcolor{blue}{$\bm{x,\ y}$の対称式}}  \textbf{\textcolor{red}{$\bm{x}$と$\bm{y}$を入れ替えても変わらない式}}    \rei\ \ $x^2+xy+y^2$ \\[.2zh]  \textbf{\textcolor{blue}{$\bm{x,\ y}$の交代式}}  \textbf{\textcolor{red}{$\bm{x}$と$\bm{y}$を入れ替えると符号が逆になる式}}  \rei\ \ $x^3-y^3$ \\[1zh]  \textbf{\textcolor{blue}{対称式の性質}}  \textbf{\textcolor{red}{基本対称式$\bm{x+y,\ xy}$のみで表すことができる.}} \\[.5zh]  \textbf{\textcolor{blue}{交代式の性質}}  \textbf{\textcolor{red}{必ず差$\bm{(x-y)}$をくくり出すことができ,\ 残りの因数は対称式となる.}} \\[.2zh]          また,\ \textbf{\textcolor{red}{2乗すると対称式}}となる. \\\\  以上が通常の対称式・交代式の基本だが,\ $\sin\theta\,と\,\cos\theta$の対称式の場合には続きがある. \\[.2zh]  $\sin\theta$と$\cos\theta$には,\ 常に$\bm{\textcolor{cyan}{\sin\theta^2+\cos^2\theta=1}}$の関係がある. \\[.2zh]  よって,\ \textbf{\textcolor{forestgreen}{和$\bm{\sin\theta+\cos\theta}$と積$\bm{\sin\theta\cos\theta}$の一方から他方を求めることができる.}} \\[.2zh]  その方法は,\ \textbf{\textcolor{forestgreen}{和を2乗する}}ことである. \\[.2zh]  結局,\ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{\sin\theta\,と\,\cos\theta}$の対称式・交代式は,\ 和と積の一方の値だけで求められる.}}
(1)\,~\,(4)は,\ いずれも\,\sin\theta\,と\,\cos\theta\,の対称式または交代式である. \\[.2zh] 和と積が基本になるので,\ \ 最初に和\ \sin\theta+\cos\theta\ を2乗して積\ \sin\theta\cos\theta\ の値を求めておく. \\[1zh] (1)\ \ 対称式の扱いの基本は,\ \ \bm{x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)}\ を用いることである(別解). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ しかし,\ \sin\theta\,と\,\cos\theta\,の対称式では,\ \bm{x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)}\ を用いた方がよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\ が利用できるからである. \\[1zh] (2)\ \ \bm{x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)}\ か\ \bm{x^3-y^3=(x-y)^3+3xy(x-y)}\ を用いる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ どちらにしても\ \sin\theta-\cos\theta\ の値が必要になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これを求めるため,\ 交代式は\bm{2乗すると対称式}となることを利用する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2乗を普通にはずすとき,\ 正のみか負のみか両方かの判断が必要になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 0\Deg<\theta<180\Deg\ のとき\,\sin\theta>0である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ さらに,\ \maru1より\,\bm{\sin\theta\,と\,\cos\theta\,の積が負}であることを考慮すると,\ \cos\theta<0\,であるとわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ \sin\theta>\cos\theta\,であるから,\ \sin\theta-\cos\theta>0である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 積に着目すると正負が定まるというのは,\ 経験なしで気付くのは難しいだろう. \\[1zh] (3)\ \ \tan\theta=\bunsuu{\sin\theta}{\cos\theta},\ \ \bunsuu{1}{\tan\theta}=\bunsuu{\cos\theta}{\sin\theta}\ より,\ 実質\ \sin\theta\ と\ \cos\theta\ の対称式である.\ 通分する.