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}1辺の長さが$a$の正四面体\mathRM{ABCD}について,\ 次の値を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}\ \begin{tabular}{lll}
(1)\ \ 表面積$S$    & (2)\ \ 2面のなす角の余弦    & (3)\ \ 高さ$h$ \\[.8zh] (4)\ \ 体積$V$ & (5)\ \ 内接球の半径$r$ & (6)\ \ 外接球の半径$R$
正四面体の計量
正三角形の面積は,\ 公式\ S=\bunsuu12bc\sin A\ を利用して求める. \\[.6zh] 正四面体の表面積なので4倍する.
(2)\ \ 対称性より,\ 頂点Aから下ろした垂線の足は\textcolor{red}{底面\mathRM{BCD}の重心}である. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ この点をGとすると $\mathRM{\textcolor{red}{DG:GM=2:1}}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ よって,\ 辺BCの中点をMとすると,\ 直角三角形AMGにおいて
\bm{2面のなす角の定義}は,\ \bm{2つの平面の交線に垂直な2直線(法線)のなす角}である. \\[.2zh] 対称性よりどの面のなす角も等しいので,\ \triangle \mathRM{ABC}と\triangle\mathRM{BCD}のなす角を求めることにする. \\[.2zh] いずれも正三角形なので,\ \bm{中線(頂点と中点を結ぶ線分)を引けば,\ \mathRM{BC}と垂直に交わる.} \\[.2zh] \bm{辺\mathRM{BC}は,\ 2平面\mathRM{\triangle ABCと\triangle BCD}の交線}である. \\[.2zh] さらに,\ \bm{\mathRM{AM\perp BC,\ DM\perp BC}であるから,\ \angle\mathRM{AMD}が2面のなす角}である. \\[1zh] 正四面体の計量では,\ \bm{対称性を最大限利用}する. \\[.2zh] \bm{重心の性質「中線を2:1に分割」}を考慮すると,\ 長さを求めずとも2面のなす角の\,\cos\,がわかる. \\[.2zh] 実際に長さを求め,\ 余弦定理を用いて\,\cos\,を求める別解も一応示した. \\[.2zh] 中線の長さは30\Deg,\ 60\Deg,\ 90\Deg\,の直角三角形の比1:\ruizyoukon3:2で求まる.\ 三平方の定理でもよい. \\[1zh] 立体図形の問題では,\ \bm{求めたい図形量を含む平面を取り出して図示する}ことが重要である. \\[.2zh] 右上図は,\ \bm{正四面体を真上から見た図}であり,\ \mathRM{AとG}が一致している. \\[.2zh] 右下図は,\ \bm{正四面体を3点\mathRM{A,\ M,\ D}で通る平面で切断したときの断面図}である. \\[.2zh] これらの図を適当に図示してはならず,\ 長さや角度を考慮する必要がある. \\[.2zh] 例えば,\ \mathRM{\triangle BCDは正三角形,\ \triangle AMDは二等辺三角形}となるように図示しなければならない.
本解は,\ (2)で求めた2面のなす角の\,\cos\,を利用する方法である. \\[.2zh] 別解は,\ 重心の性質を利用する方法であり,\ なす角を経由せずに求められる. \\[.2zh] \mathRM{\triangle AMG}で考えてもよいが,\ \mathRM{AD}=aを利用する方がわずかに計算が楽である.
(5)\ \ 内接球の中心をIとすると \\[.5zh] 三角形の内接円の半径を求めるとき,\ S=\bunsuu12r(a+b+c)\ を用いて面積から逆算した. \\[.6zh] この公式は,\ \mathRM{\triangle ABC=\triangle IAB+\triangle IBC+\triangle ICA}\ から導かれたものであった(左下図). \\[.2zh] この発想を空間に応用し,\ \bm{四面体の内接球の半径を体積から逆算して求める.} \\[.2zh] \bm{四面体の体積は,\ 頂点が\mathRM{I}で四面体の各面を底面とする4つの三角錐の体積の和に等しい.} \\[.2zh] 特に正四面体ならば,\ その体積は右下図の三角錐\mathRM{I-BCD}の体積4個分に等しい.
(6)\ \ $\mathRM{\triangle ODG}$に三平方の定理を適用すると $\mathRM{OD^2=OG^2+GD^2}$ \\[
%対称性より,\ \textcolor{magenta}{内接球の中心と外接球の中心は一致する.} \\[.2zh] %\phantom{ (1)}\ \ また,\ 内接球の中心Oは,\ 垂線AG上に存在するから,\ $\mathRM{r=OG}$である. \\[.2zh] %\phantom{ (1)}\ \ 外接球の半径は,\ \textcolor{magenta}{中心Oから頂点までの距離に等しく},\ $R=\mathRM{OA}$である.
4頂点\mathRM{A,\ B,\ C,\ D}からの距離が等しい点が外接球の中心\mathRM{O}である. \\[.2zh] 直線\mathRM{AG}上の点は3頂点\mathRM{B,\ C,\ D}までの距離が等しいから,\ 外接球の中心\mathRM{O}は直線\mathRM{AG}上にある. \\[.2zh] なお,\ 外接球の中心と内接球の中心は一致する. \\[1zh] 外接球の半径Rは三平方の定理によって求められる. \bm{外接球の中心\mathRM{O}は垂線\mathRM{AG}を3:1に内分する点}であるとわかる.
%本解は,\ 中心\mathRM{O}の位置が求まっていない場合の解法である. \\
%\bm{(外接球の半径R)=(垂線の長さh)-(内接球の半径r)}\ で求められる. \\
%別解は,\ 中心の位置(垂線を3:1に内分)が既に求まっている場合の解法である. \\
%答えだけでよい場合,\ 中心の位置を覚えていれば,\ 瞬殺が可能である.
\centerline{{\Large \textbf{\textcolor{blue}{正四面体の立方体への埋め込み}}}} \\\\
正四面体の一部の図形量は,\ 立方体に埋め込んで考えると中学レベルの問題となる. \\[.2zh] $\bm{\textcolor{purple}{1辺の長さがaの四面体}は,\ \textcolor{red}{1辺の長さが\,\bunsuu{a}{\ruizyoukon2}\,の立方体に埋め込まれる.}}$ \\[.2zh] 立方体の対角線の長さはすべて等しいから,\ 下図の四面体ABCDは正四面体である
正四面体ABCDは,\ \textcolor{red}{立方体から4つの直角三角錐を取り除いた図形}である.
\mathRM{A,\ B,\ C,\ D}以外の立方体の頂点を\mathRM{P,\ Q,\ R,\ S}とする. \\[.2zh] 立方体から4つの直角三角錐\mathRM{CABP,\ DABQ,\ BCDS,\ ACDR}を取り除けばよい.
\end{array}}\right]$}} \\\\\\
体積が求まれば,\ \textcolor{red}{体積を2通りに表すことで正四面体の高さを逆算}できる. \\[.2zh] 頂点Aから底面BCDにおろした\textbf{\textcolor{blue}{垂線の長さを$\bm{h}$}}とすると \
体積から高さを逆算という手法は,\ 中学生がよく使うものである. \\[.2zh] 正三角形の面積は\,\sin\,公式を用いたが,\ 三平方の定理で中学生でも求められる.
外接球の半径$\bm{R}$}}は,\ \textcolor{red}{立方体の中心Oから頂点までの距離に等しい.}
対称性より,\ \mathRM{O}から頂点までの長さは立方体の対角線の長さの半分である. \\[.2zh] 立方体の対角線の長さは,\ 三平方の定理を用いれば,\ 1辺の長さの\ruizyoukon3\,倍である.
最後に,\ \textbf{\textcolor{blue}{内接球の半径$\bm{r}$}}を求める. \\[.2zh] 内接球の中心もOであり,\ 半径は\textcolor{red}{Oから$\triangle$BCDまでの距離に等しい.} \\[.5zh]