ところで、正十二角形の周長・面積ときたら、あの伝説中の伝説を思い出さざるを得ない。

伝説の入試問題 2003年 東京大学 前期 理系 第6問 / 大阪大学 後期 理系 第4問  円周率を3にしようとするゆとり教育への警告?

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半径1の円に内接する正十二角形の周の長さLと面積Sを求めよ.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$(2)\ \ 1辺の長さが1の正十二角形の面積Sを求めよ.$ \\
{正十二角形の周長と面積}}}} \\\\[.5zh] (1)\ \ 正十二角形の1辺の長さをlとすると,\ \textcolor[named]{ForestGreen}{余弦定理}より \\[.5zh] 多角形の面積を求めるときの原則は,\ \bm{三角形に分割}である.\ すると,\ 三角形の問題に帰着する. \\[.2zh] 極めて単純な原則であるにもかかわらず,\ 学生の認知度は低い. \\[.2zh] 例えば,\ 「台形の面積の公式忘れた\cdots」という学生が多いが,\ そもそも覚える必要があるのだろうか. \\[.2zh] 対角線を引いて三角形に分割してしまえば,\ (上底)\times(高さ)\div2+(下底)\times(高さ)\div2である. \\[.2zh] つまり,\ (上底+下底)\times(高さ)\div2ということである. \\[1zh] 多角形によっては,\ どのように三角形に分割するかが重要になる. \\[.2zh] 正n角形では,\ 中心を通る対角線を引き,\ \bm{n個の合同な三角形に分割する}のが基本である. \\[.2zh] 正十二角形の場合は,\ 12個の頂角30\Deg の二等辺三角形ができる. \\[.2zh] 後は,\ 余弦定理を適用すると1辺の長さが求まる.\ このとき,\ 2重根号をはずす必要が生じる. \\[.2zh] \ruizyoukon{X\pm2\ruizyoukon{Y}}\ は,\ a+b=X,\ ab=Yを満たすa,\ b\ (a>b)を探すと\,\ruizyoukon a\pm\ruizyoukon b\ とできるのであった. \\[.2zh] 中の根号の前は必ず2でなければならないので,\ 必要ならば無理矢理2にする. \\[.2zh] 面積は,\ 三角形の面積の公式S=\bunsuu12bc\sin Aを適用した後に12倍するだけである. \\[.2zh] なお,\ \cos30\Deg=\bunsuu{\ruizyoukon3}{2},\ \ \sin30\Deg=\bunsuu12\ である.
正十二角形の外接円の半径をa}とする.$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{purple}{余弦定理}より
面積を求めるには,\ 2辺の長さとその間の角が必要である. \\[.2zh] \bm{二等辺三角形}であることに着目して30\Deg\,を挟む2辺の長さaとおき,\ 余弦定理を適用すればよい. \\[.2zh] a^2\ の値が求まるが,\ 少し先を見越すとaを求める必要はない.