検索用コード
次の関数の最大値・最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ. \\[1zh] 三角比の2次関数の最大・最小}
(1)\ \ \bm{\sin^2\theta+\cos^2\theta=1}\ を用いると,\ 関数を\,\sin\theta\,に統一できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \sin\theta\,の2次関数になるので,\ \sin\theta=t\,と置換する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 後は,\ 普通の2次関数の最大・最小問題である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ただし,\ 一般に\bm{文字を置換したときは置換後の文字の範囲の確認を要する.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 0\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg\,より,\ この範囲の\,\theta\,に対しては常に\bm{0\leqq\sin\theta\leqq1}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 0\leqq t\leqq1の範囲での最大・最小を求めることになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 慣れればいちいち置換せずに求めればよいが,\ この場合も\,\sin\theta\,の範囲を考慮する必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2次関数なので平方完成すると,\ t=\bunsuu12\,のとき最大,\ t=0,\ 1のとき最小をとるとわかる. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 後は,\ \sin\theta=\bunsuu12,\ \ \sin\theta=0,\ 1から\,\theta\,の値を求めて最終的な答えとする. \\\\
(2)\ \ \bm{1+\tan^2\theta=\bunsuu{1}{\cos^2\theta}}\ を用いると,\ 関数を\,\tan\theta\,に統一できる. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{0\Deg<\theta<90\Deg\,の範囲では,\ \tan\theta\,は0より大きいすべての実数値をとりうる.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ t>0であり,\ このtの範囲における最大値は存在しない.