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数I\hspace{-.1em}Iの三角関数では様々登場するが,\ 数Iの三角比の時点では次の2点が重要である. \\[1zh] [1]\ \ 三角比の相互関係$\bm{\textcolor{cyan}{\sin^2\theta+\cos^2\theta=1}}$を用いて,\ \textbf{\textcolor{red}{関数を統一}}する. \\[.5zh] 因数分解}}して,\ $\bm{\textcolor{red}{( )( )=0}}$の形を導く.
(1)\ \ \sin\theta\,と\,\cos\theta\,のどちらに統一するかが重要である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 1乗の方を2乗の方に合わせるのは無理があるので,\ \bm{2乗の方を1乗の方に合わせる}必要がある. \\\ として代入すればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 後は単なる\,\sin\theta\,の2次方程式なので,\ 因数分解する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ わかりにくければ,\ 一旦\,\sin\theta=tと置換すると,\ 2t^2-3t+1=0である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \sin\theta\,の値が2つ求まるので,\ それぞれを解くと結局\,\theta\,の値は3個求まる. \\[1zh] (2)\ \ 1乗の\,\cos\theta\,に統一する.\ その後,\ 因数分解できることに気付いてほしい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 元々,\ \theta\,の値が求まるということは,\ \cos\theta\,は0,\ \bunsuu12,\ \bunsuu{1}{\ruizyoukon2},\ \bunsuu{\ruizyoukon3}{2},\ 1のような値であるはずである. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ それゆえ,\ 因数分解もできるはずであることをあらかじめ想定して解くことが重要である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ もちろん,\ 最終手段として解の公式を用いて求めることもできる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{0\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg\,のとき-1\leqq\cos\theta\leqq1より,\ \cos\theta=\ruizyoukon3\,は不適}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 答案では簡潔に示しておけばよい. \\[1zh] (3)\ \ \tan\theta\,が混在する場合,\ \tan\theta=\bunsuu{\sin\theta}{\cos\theta}\,で\ \sin\theta\,と\,\cos\theta\,のみにすると何とかなることが多い. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 分母の\,\cos\theta\,をはらうと,\ 因数分解できる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 3つの解が求まるが,\ \bm{問題で与えられた等式を満たすことの確認が必要}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ なぜなら,\ 解答の1行目で両辺に\,\cos\theta\,を掛けたときに同値性が崩れているからである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 一般に,\ \bm{X=Y\ \Longleftrightarrow\ XZ=YZ\ は成り立たない.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \Longrightarrow\ は成り立つが,\ \Longleftarrow\ は成り立たない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ Z=0のとき,\ 両辺をZで割ることはできないからである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ すべての方程式は,\ 同値変形によって解くのが原則である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ただ,\ 本問の場合,\ 両辺に\,\cos\theta\,を掛けて分母をはらわないことには先に進めない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 同値性の崩壊覚悟のうえでXZ=YZに変形し,\ 後からX=Yも満たすかを確認したのである. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ Z\neqq0のときはX=Y\ \Longleftrightarrow\ XZ=YZは成り立つから,\ これを利用する手もある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ 最初に以下を確認しておけば,\ 後からすべての解を代入して確認する必要はなくなる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \  「\tan\theta\,は90\Deg\,では定義されないから\,\theta\neqq90\Deg で,\ このとき\ \cos\theta\neqq0\,」