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0\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$とする.\ $x$の2次方程式$x^2-2(\sin\theta)x+(\cos^2\theta-\cos\theta)=0$について, \\[.2zh] \hspace{.5zw}次の問いに答えよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 正の解と負の解をもつように$\theta$の値の範囲を定めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 異なる2つの正の解をもつように$\theta$の値の範囲を定めよ. \\
係数が三角比の2次方程式の解の存在範囲 式が仰々しくなるとすぐに抵抗感を示す学生が多いが,\ \bm{本質は何か}を考える姿勢が重要である. \\[.2zh] 本問は,\ 係数に三角比を含むだけで,\ \bm{単なるxの2次方程式}である.\ それ以上でもそれ以下でもない. \\[.2zh] 解法も普通の2次方程式と同様で,\ 解の存在範囲問題として2次関数分野で学習済みである. \\[.2zh] よって,\ ここでは軽く解説するに留める.\ 不安ならば,\ 2次関数分野を復習してほしい. \\[1zh] 2次方程式は,\ 解をもつか否かだけならば判別式で一発である. \\[.2zh] しかし,\ 解がどこにあるかまで問われたならば,\ 図形的な考察を要する. \\[.2zh] このとき,\ \bm{\maru1\ 判別式の正負,\ \ \maru2\ 軸の正負,\ \ \maru3\ 区間の端のy座標の正負}に着目するのであった. \\[1zh] (1)\ \ 正の解と負の解をもつ条件は,\ \bm{y軸との交点が負}である.\ この場合は他の条件は必要ない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 三角比の2次方程式に帰着するので,\ これを解いて\,\theta\,の範囲を求めればよい. \\[1zh] (2)\ \ \bm{\maru1\ D>0,\ \ \maru2\ 軸>0,\ \ \maru3\ y軸との交点が正}の3条件が必要である. \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \ [1]\ \ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\,を適用すると,\ \cos\theta\,の2次不等式となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \phantom{[1]}\ \ 必ず2乗の係数を正にしてから因数分解すること. 2\cos^2\theta-\cos\theta-1<0 \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \ [2]\ \ f(x)=(x-\sin\theta)^2-\sin^2\theta+\cos^2\theta-\cos\theta\ より,\ 軸はx=\sin\theta\ である. \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \ [3]\ \ 0\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg\,では,\ 常に-1\leqq\cos\theta\leqq1である.\ よって,\ \cos\theta<0のみ考慮すれば済む.