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四角形$\mathRM{ABCD}は円に内接しており,\ \mathRM{AB=4,\ BC=5,\ CD=7,\ DA=10}\ である.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}次の値を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $対角線\mathRM{BD}の長さ$        (2)\ \ 四角形ABCDの面積$S$ \\
円に内接する四角形の対角線の長さと面積}}}} \\\\
円に内接する四角形では\textbf{\textcolor{red}{対角の和が$\bm{180\Deg}$}}となるのであった. \\[.2zh] 綺麗な角度の場合は,\ 単純に利用すればよい.\ 例えば,\ 一方が$60\Deg$ならば他方は$120\Deg$である. \\[.2zh] しかし,\ 綺麗な角度でない場合,\ 以下の考え方が必要になる. \\[1zh] \centerline{\textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{2つの三角形にそれぞれ余弦定理を適用}}し,\ \textbf{\textcolor{red}{対角線の長さをを2通りに表す.}}} \\
余弦定理を適用}すると$ 余弦定理を適用}すると$ \\
(1)\ \ \mathRM{\angle C=180\Deg-\angle A}に注意して余弦定理を適用し,\ 公式\ \bm{\cos(180\Deg-\theta)=-\,\cos\theta}\ も用いる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \mathRM{BD}^2\,を2通りに表すとまず\,\cos Aを求めることができ,\ 直ちに\mathRM{BD}も求められる. \\[1zh] (2)\ \ 2つの三角形に分割して求める.\ 公式\ \bm{\sin(180\Deg-\theta)=\sin\theta}\ により,\ 結局\,\sin Aだけで求まる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1を利用して,\ \sin Aを求めればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 答えだけでよい場合は,\ 裏技ブラーマグプタの公式が有効である(詳細は別項). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \  s=\bunsuu{4+5+7+10}{2}=13   \therefore\ S=\ruizyoukon{(13-4)(13-5)(13-7)(13-10)}=\bm{36}