仕事Wと仕事率P、F-xグラフ、仕事率Pと速さvの関係

仕事${W}$\ [J] green}{.1}{dg}dg}{l} 物体に一定の力$F$\ [N]を加えてその力の向きに物体が距離$x$\ [m] 動いたとき,\ ${W=Fx$をこの力が物体にした仕事という. } 仕事の原理 道具を用いたときの仕事と,\ 道具を用いないときの仕事の量は変わらない. 仕事率${P}$\ ${[W}]=[J/s}]}$ 単位時間(1秒)当たりの仕事. 時間$t$\ [s]で仕事$W$\ [J]をするときの仕事率$P$\ [W]は   dy}{${P= Wt$ 仕事率${P}$と速さ${v}$の関係 力の向きの速さを$v$\ [m/s]とすると   dy}{${P= Wt={Fx}{t}=F xt={Fv$ $[l} 仕事(work})は普通W(単位ジュールJ})で表す. 仕事率P(power})の単位[W}](ワット)と混同しないように注意する. さて,\ 盲点となるのは\ {(仕事率)=(力)(速さ)\ である. 物理で仕事率が問われた場合に3つの方法をすぐに思い浮かぶようにしておこう. 仕事を時間(秒)で割る.\ つまり,\ P= Wt\ で求める. 力と速さを掛ける.\ つまり,\ P=Fv\ で求める. [3]電流と電圧を掛ける(電磁気学).\ つまり,\ P=IV\ で求める. あらい水平な床の上にある重さ10Nの物体に,\ 水平から30$°$上向きに6.0Nの力を加 えながら床に沿ってゆっくりと3.0m動かした.\ このとき,\ 次の力が物体に加えた仕事 を求めよ.  重力   垂直抗力   人が加えた力   摩擦力 W=Fxは力Fの向きにx動いたときの仕事だが,\ 常に力の向きと移動方向が同じとは限らない. 向きが異なる場合,\ {力を分解して向きをそろえてから掛ける}ことになる. 力の向きと移動方向が角θをなす場合,\ 力の物体の移動方向の成分はFcosθ\ である. 以上から,\ 公式\ {W=Fxcosθ\ が導かれる. 仕事は,\ 数学的にはベクトルの内積なのである. W=Fx=Fxcosθ 公式\ W=Fxcosθ\ に従って求めると解答のようになる. ただしcos90°=0より,\ {力の向きと移動方向が直角をなす場合,\ その力は仕事をしない. よって,\ 直角を成す場合は立式せずとも0\ [J}]\ としてよい. と同様,\ 直角をなすから立式せずとも0\ [J}]\ である. あえて立式するならば,\ 力のつりあいより垂直抗力が7.0\ N}であることに注意する. {力の向きと進行方向が30°をなす}ことに注意して公式を適用する. 6.0N}の移動方向の成分33N}と移動距離3.0m}を掛けると考えてもよい. {「ゆっくりと動かした」=「等速で動かした(加速なし)」=「力はつりあっている」}を意味する. 納得しづらい部分もあるが,\ 初速をもっていたと考えて納得しよう. 水平方向の力のつりあいより,\ 摩擦力は33N}である. {摩擦力と進行方向が180°をなす}ことに注意して公式を適用する. 重さ12Nの物体を5.0mの高さにゆっくりと引き上げる.  鉛直に引き上げるのに必要な仕事$W₁$を求めよ.  傾斜角$30°$のなめらかな斜面に沿って引き上げるのに必要な仕事$W₂$を求めよ.  において20秒の時間を要した.\ 仕事率$P$を求めよ. ゆっくりと(等速で)引き上げるとき,\ 物体にはたらく力はつりあっている. よって,\ 重力に逆らって引き上げるのに12N}の力を要する. 重力の斜面方向の成分は12sin30°=6.0\ である. よって,\ これに逆らって引き上げるのに6.0N}の力を要する. また,\ 高さが5.0m}のとき,\ 斜面の距離は10m}である(1:2:3\ の直角三角形). で求めた仕事を時間で割ればよい.\ 練習のため,\ 速さを利用した別解も示しておく. 斜面距離10m}を20秒かけて等速で引き上げるとき,\ その速さは0.50m/s}である. (力6.0) (速さ0.50)で仕事率を求められる. 力の大きさ$F$[N]と自然長からの伸び$x$[m]の関係が下図にようになるばねがある.  このばねを自然長から0.10m}伸ばすのに必要な仕事$W₁$を求めよ.  このばねの伸びを0.20m}から0.30m}にするのに必要な仕事$W₂$を求めよ. 仕事がW=Fxで求められるのは,\ あくまでも{力Fが常に一定である場合}に限られる. しかし,\ ばねを伸び縮みさせるのに必要な力Fは,\ xに比例して大きくなる. この場合はW=Fxで求めることはできない. 力Fがする仕事は,\ より根本的には{F-}x図における面積である. 力Fが一定であるとき面積は長方形となり,\ W=Fx=200.20=4.0J}と求められる(左図). {力Fが一定でない場合,\ 仕事WはF-}x図の面積として求めるしかない. 結局,\ 本問では右図の三角形と台形の面積を求めることになる. ばねの仕事に限った話ならば,\ {ばねの弾性エネルギー}を利用して求めることもできる. ここでは要点のみ別解として示しておく.\ ばねの弾性エネルギーは\ 12kx²\ である. F=kxより,\ F-}x図における直線の傾きがばね定数kである.\ 本問の場合は\ 100N/m}である. {(ばねがされた仕事)=(最終状態のばねの弾性エネルギー)-(初期状態のばねの弾性エネルギー)}
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