なめらかな平面との繰り返し斜め衝突

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床との衝突 高さ$h$から自由落下させた小球が床でバウンドして高さ$h’$まで到達したとする. また,\ 衝突直前と直後の速さを$v,\ v’$,\ 衝突するまでとしてからの時間を$t,\ t’$とする. 反発係数eの式\ e=-v₁}’-{v₂}’}{v₁-v₂}\ において床の速度v₂={v₂}’=0\ とすると\ e=-v₁}’}{v₁}\ が導かれる. 等加速度運動の公式\ v=v₀+at\ より v=0+gt\ (衝突前),0=v’-gt’\ (衝突後) (下向き正) よって -{v’}{v}=-{-gt’}{gt}={t’}{t} 等加速度運動の公式\ v²-{v₀}²=2ax\ より v²-0²=2gh\ (衝突前),0²-{v’}²=2(-g)h’\ (衝突後) よって -{v’}{v}=-{-{2gh’2gh=h’}{h 結局,\ 衝突の前後で{速度は大きさがe倍で逆向き,\ 時間はe倍,\ 高さはe²倍}になる(暗記推奨). 特にe=0ならばv’=0,\ つまり面に付着する. 特にe=1ならばv’=-v,\ つまり衝突前と同じ速さではね返る. なめらかな床との斜め衝突 等速直線運動} {(-.5,2.5)}[w]{鉛直投げ上げ} 斜め衝突でよくある誤りは\ e=-{v’}{v}\ としてしまうことである.\ 正しくは\ e=-v_y}’}{v_y}\ である. 面と平行方向には力積を受けないから速度変化なし,\ 面と垂直方向には力積を受けて-e倍になる. 繰り返し衝突では,\ {衝突ごとに速度e倍,\ 時間e倍,\ 高さe²倍}になる. 面と平行方向は等速度であるから,\ その移動距離は時間に比例する.\ よって,\ 衝突ごとにe倍になる. 点Oから投射角$45°$で小球を打ち出したところ,\ 距離が$l$だけ離れた壁面の点Aに垂 直に当たって跳ね返った.\ その後,\ 小球は床でバウンドを繰り返した.\ 小球が1回目に バウンドした床上の点をB,\ その後の最高点をCとする.\ 小球と壁および小球と床の 反発係数を$e$,\ 重力加速度の大きさを$g$とする.  点Oで打ち出した瞬間の小球の速さ$v₀$を求めよ.  点Aの床からの高さ$h₁$を求めよ.  点Aで跳ね返った直後の小球の速さ$v₁$を求めよ.  点Aから点Bまでの水平方向の移動距離$x$を求めよ.  点Cの床からの高さ$h₂$を求めよ.  小球は点Aで跳ね返ってから時間$T$後にちょうど点Oに戻り,\ その後バウンド { }せずに床上をすべりはじめた.\ $e$の値を求めよ. 小球が点Oから点Aに移動するのにかかった時間を$t₁$とする. { }点Aにおける鉛直方向の速度は0であるから 小球が点Aから点Bに移動するのにかかった時間を$t₂$とする. 点Bで衝突直前の鉛直方向の速度$v_y$は $v_y=0-gt₂}=-{gl}$ { }点Bで衝突直後の鉛直方向の速度${v_y}’$は { }この間の水平方向の移動距離は 問題から条件「投射角45°」「水平方向の移動距離l」「点 Aでの鉛直方向の速度0」がわかる. この条件を立式するには{初速度と時間を文字で設定}する必要がある.\ 学生はこれができない. 等加速度運動の公式v=v₀+atおよび等速直線運動の公式l=vtを立式する. このとき,\ 初速度v₀は水平方向と鉛直方向に分解,\ 上向きを正として立式する. 連立するとv₀がg,\ lで表される. 等加速度運動の公式\ h=v₀t+12at²\ を適用する.\ さらにv₀を消去する. 水平方向は等速運動であるから,\ 衝突直前の速度はv₀cos45°\ である. 衝突前の方向を正として反発係数の式を適用する. v₁は速さであり,\ {速度は-v₁}であることに注意して適用する. 単純に衝突前の速さv₀cos45°={gl}\ のe倍としてもよい. ここでも一旦時間を設定して考える.\ {AからB}は鉛直方向は{自由落下運動(初速度0)}である. 鉛直方向だけで見ると,\ {OからB}の過程は単なる{投げ上げ}である. よって,\ t₁=t₂\ となっていることにも着目しておこう. 高さがe²倍になることを無断使用してもよいかは微妙なので一応求める. v=v₀+at\ で衝突前の速度,\ 反発係数の式で衝突後の速度,\ さらにv²-{v₀}²=2ax\ で求まる. ここでは速さではなく速度をv_y,\ {v_y}’としていること,\ 上向きを正としていることに注意. もし速さをv_y,\ {v_y}’と設定したならば次のようになる(向きを符号で表して代入). -v_y=0-gt₂ より v_y={gl}   e=-v_y}’}{-v_y} より {v_y}’=e{gl} {小球がBからCに移動するのにかかった時間をt₃とする.} 0={v_y}’-gt₃ より {t₃}=v_y}’}{g}=e{ lg}={et₂}(t₂のe倍) よって,\ 点{B}の衝突から次の衝突までの時間は,\ 対称性より{2et₂}である. {衝突ごとに,\ 衝突直後の速さはe倍になるから滞空時間もe倍になる.} ゆえに,\ t₂基準でみると,\ 次の衝突までの滞空時間は2et₂,\ 2e²t₂,\ 2e³t₂,となっていく. これをすべて(無限まで)足し合わせたものがバウンドしなくなるまでの時間Tである. 1+e+e²+\ は,\ 初項1,\ 公比eの無限等比級数の和である. 数III}の極限公式を要する.\ 初項a,\ 公比rの無限等比級数の和は a}{1-r(0

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