慣性力と見かけの重力加速度(電車内の小球と風船の運動)

一定の加速度で加速中の電車内に天井から糸で吊り下げられた質量$m$の小球があり, 角度が$θ$だけ傾いたところで静止している.\ このときの小球の床からの高さは$h$であ った.\ 重力加速度の大きさを$g$とする.  電車の加速度の大きさと糸の張力の大きさを求めよ.  糸が切れたとき,\ 電車内における小球の水平方向の移動距離$x$を求めよ. 加速度${a}$\ }で運動中の観測者から物体を見るとき,\ 物体には力${F=-ma}$}\ がはたらいているようにみえる.}\ この見かけの力を慣性力}という. 今まで,\ 常に{地上で静止している観測者}か{等速直線運動中の観測者}の立場で物体の運動を見てきた. しかし,\ 問題によっては{加速度運動している観測者}の立場で見ると簡潔になる. 電車内の観測者の立場で考えるとき,\ {重力と接触力に加えて慣性力も図示する}ことになる. 接触力は張力のみ,\ {慣性力はaと逆向きに大きさma}である. 水平方向と鉛直方向に軸をとり,\ 張力を分解する. 電車内の観測者から見ると{小球は静止}している. よって,\ {水平方向・鉛直方向ともにつりあいの式}を立てて連立することになる. 地上の観測者の立場で考えるとき,\ 小球にはたらくのは重力と張力のみである. そして,\ 小球は{水平方向には加速度運動}している. よって,\ {水平方向は運動方程式\ ma=F}を立てることになる.\ 鉛直方向は同じである. 結局,\ どちらの立場でみても同じ式となり,\ 同じ結果が得られる. 元はといえば,\ そのために慣性力なるものを導入したのである. 電車内の観測者から見ると,\ 小球は重力と慣性力の合力方向に等加速度直線運動}する. $ {x=htanθ}$} 見かけの重力加速度 一定の重力と慣性力がはたらくとき,\ その重力と慣性力の合力が見かけの重力となる.} mgとmaの合力は,\ 三平方の定理よりm{g²+a²}\ である. {g²+a²}=g’\ とすると,\ 質量mの小球が受ける重力と慣性力の合力はmg’となる. このように重力と慣性力の合力を見かけの重力と考えると,\ 運動がイメージしやすくなる. つまり,\ 電車内の観測者の立場で考えるとき,\ {重力加速度g’がはたらく世界}をイメージすればよい. 糸が切れたならば,\ {g’の方向に自由落下運動}するはずである. このイメージがあれば,\ 水平方向の移動距離xがh,\ θで容易に表せる. また,\ 空気より軽い気体を入れた風船の電車内の運動は間違えやすい. しかし,\ 見かけの重力加速度g’がはたらいているイメージがあれば,\ 上図となることが容易にわかる.
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