力学的エネルギー保存則(運動エネルギーと位置エネルギーの総和の保存)

エネルギー\ [J]  物体がもつ仕事をする能力. 運動エネルギー\ [J] ($質量:m,\ 速さ:v$) dy}{${K=12mv²$} 重力による位置エネルギー\ [J] ($質量m,\ 重力加速度g,\ 基準面から}の高さh$) dy}{${U=mgh$} ばねの弾性力による位置エネルギー\ [J] ($ばね定数k,\ 自然長から}の伸び・縮みx$) dy}{${U=12kx²$} 保存力  物体に与える仕事が経路によらず,\ 最初と最後の位置だけで決まる力. 重力・万有引力・弾性力・静電気力のみ. 力学的エネルギー  物体がもつ運動エネルギーと位置エネルギーの総和. 力学的エネルギー保存則 保存力以外の力が仕事しないとき,\ 全力学的エネルギーは運動の前後で保存する. dy}{${K_始+U_始=K_終+U_終$ $[l} 位置エネルギーは基準からみてどれくらいの位置にいるかで決まる. つまり,\ その都度{自分で基準を設定}しなければならない. 基準をどこにとるかは自由なので,\ 立式や計算が楽になるところを基準にとればよい. 下図のように,\ 高さ$h$のなめらかな台上にある一端を固定されたばね定数$k$のばねに 質量$m$の小球を押し付けて$x$だけ縮めてからはなしたところ,\ ばねが自然長になった ときに小球がばねから離れ,\ その後小球は台から飛び出した.\ 重力加速度の大きさを $g$とする.  小球が台から飛び出すときの速さ$v₁$を求めよ.  小球が床に到達したときの速さ$v₂$を$v₁$を用いて表せ. 力学的エネルギー保存則より $0+12kx²=12m{v₁}²+0}   {v₁=x{ km$ 床を重力による位置エネルギーの基準とすると,\ 力学的エネルギー保存則より $12m{v₁}²+mgh=12m{v₂}²+0}     {v₂=v₁}²+2gh$ $[l} 台から飛び出すまでに小球が受ける外力は重力,\ ばねの弾性力,\ 垂直抗力である. 重力と弾性力は保存力である,\ また,\ 垂直抗力は{進行方向と常に垂直をなすから仕事をしない.} よって,\ 初期状態の力学的エネルギーと台から飛び出すときの力学的エネルギーは等しい. ゆえに,\ 次の式を立式すればよい.\ ばねの弾性力による位置エネルギーの基準は自然長とする. {(最初の運動エネルギー)+(最初の弾性力による位置エネルギー)}             {=(最後の運動エネルギー)+(最後の弾性力による位置エネルギー)} {空中の物体が受ける外力は重力(保存力)のみであるから,\ 力学的エネルギーが保存する.} 重力による位置エネルギーの基準は最下点とするのが基本である. {(最初の運動エネルギー)+(最初の重力による位置エネルギー)}             {=(最後の運動エネルギー)+(最後の重力による位置エネルギー)} 練習のため,\ 高さhを位置エネルギーの基準として立式してみると,\ 実質同じ式が得られる.   12m{v₁}²+0=12m{v₂}²+mg(-h) 飛び出した後の運動は{水平投射}である. よって,\ 等加速度運動の公式を用いて\ v₂\ を求めることもできる. ただし,\ 力学的エネルギー保存則を適用できる場合,\ これを優先するのが簡潔である. 長さ$l$の軽い糸に質量$m$の小球をつけた振り子がある.\ 支点Oと同じ高さの点Aまで 小球を持ち上げて静かにはなしたところ,\ 最下点Bを通過した後に$∠{BOC}=60°$とな る点Cで糸が切れた.  点Bにおける速さ$v₁$を求めよ.  点Cにおける速さ$v₂$を求めよ.  糸が切れた後に小球が最高点に到達したときの点Bからの高さ$x$を求めよ. 点Bを重力による位置エネルギーの基準とすると,\ 力学的エネルギー保存則より $0+mgl=12m{v₁}²+0}     {v₁={2gl$ 点Bを重力による位置エネルギーの基準とすると,\ 力学的エネルギー保存則より $0+mgl=12m{v₂}²+mg l2}     {v₂={gl$ 点Bを重力による位置エネルギーの基準とすると,\ 力学的エネルギー保存則より $0+mgl=12m(v₂cos60°)²+mgx}     {x=78l}$ $[l} 小球は重力と張力を受ける.\ {張力は進行方向と常に垂直をなすから仕事をしない.} よって,\ 振り子では力学的エネルギーが保存するから,\ 次の式を立てる. {(点 Aの運動エネルギー)+(点 Aの位置エネルギー)}                 {=(点 Bの運動エネルギー)+(点 Bの位置エネルギー)} と同様に力学的エネルギー保存則を立式すればよい. このとき,\ 点 Aとのエネルギー保存を考えると楽である. ∠{BOC}=60°\ を考慮すると,\ 点{C}から見た点{O}の高さが\ 12l\ である. よって,\ 最下点 Bから見た点 Cの高さは\ l-12l=12l\ である. {(点 Aの運動エネルギー)+(点 Aの位置エネルギー)}                 {=(点 Cの運動エネルギー)+(点 Cの位置エネルギー)} 円運動における速度は常に円の接線方向であるから,\ v₂は線分{OC}と直角をなす. よって,\ 点{C}で糸が切れると,\ 小球は水平面と60°をなす方向に飛び出す. 空中では重力(保存力)しか受けないから,\ 飛び出した後も力学的エネルギーが保存する. ここで,\ 力学的エネルギーが保存するから点{A}と同じ高さに到達するという{間違い}が多い. 最高点においては,\ {鉛直方向の速度は0になるが水平方向の速度は0でない.} よって,\ 力学的エネルギーすべてが位置エネルギーとはならないので,\ 点{A}よりは低くなる. 要は{斜方投射}であり,\ {水平方向は等速直線運動},\ 鉛直方向は加速度運動する. よって,\ 最高点での水平方向の速度はv₂の水平方向の速度と等しくv₂cos60°\ である. 以上を踏まえて,\ 点 Aとのエネルギー保存則を立式すればよい.
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